मनीषा म्हणाली, ‘आज माझी वनस्पतीशास्त्राचा अभ्यास करणारी मत्रीण, सुजाता आली आहे. तीही बसेल गणितगप्पांमध्ये भाग घ्यायला.’‘जरूर, आपण आज बिरबलाच्या गोष्टीने सुरुवात करू या का?’ मालतीबाईंचे बोलणे ऐकून मुले खूष झाली. ‘तरी आजी, तू कुठून तरी गणित आणशील याची खात्री आहे मला.’ नंदू म्हणाला.‘पण कंटाळा नाही येत ना आजीच्या गणिताचा?’ सतीश म्हणाला.‘आज तर कोडं सांगणार आहात ना?’ सुजाताने विचारले.‘हो. एकदा अकबर बादशहाकडे दोन लोकांना खास बक्षीस द्यायचं ठरलं होतं. एक होता बिरबल तर दुसरा होता राणीचा मावसभाऊ. असं ठरलं होतं, की अश्विन महिन्यात शुक्ल पक्षात प्रतिपदेपासून ते पौर्णिमेपर्यंत रोज या दोघांना बादशहाने दक्षिणा द्यायची. राणीचा हट्ट होता की त्यांना पाहिजे त्याप्रमाणे दक्षिणा द्यावी. राणीचा मावसभाऊ म्हणाला, ‘मला पहिल्या दिवशी १०० मोहरा, मग चंद्राची कला वाढते तशा रोज १०० मोहरा जास्त हव्यात.’ ‘म्हणजे पहिल्या दिवशी १००, दुसऱ्या दिवशी २००, तिसऱ्या दिवशी ३०० अशा वाढत्या प्रमाणात मोहरा द्यायच्या?’ शीतलने विचारले. बाई म्हणाल्या, ‘होय, अशा वाढत्या प्रमाणात मोहरा मागितल्या तेव्हा आपला भाऊ किती हुशार आहे याचा अभिमान राणीच्या चेहऱ्यावर दिसला. बादशहाने बिरबलाला रोज किती मोहरा द्यायच्या ते विचारले. तो म्हणाला, ‘सरकार, मला पहिल्या दिवशी एकच मोहोर पुरे, पण नंतर प्रत्येक दिवशी आदल्या दिवसाच्या दुप्पट मोहरा द्या.’ ‘म्हणजे आज एक, उद्या दोन, परवा चार, तेरवा आठ अशा मोहरा वाढवायच्या ना?’ हे बादशहाने विचारून घेतलं. बिरबल म्हणाला, ‘होय सरकार, मला तेवढं पुरे.’ राणीला वाटत होतं तिचा भाऊ बिरबलापेक्षा हुशार निघाला, त्याला जास्त मोहरा मिळणार. आता तुम्हाला मागे शिकवलं तशी भावाला मिळणाऱ्या मोहरांची बेरीज करून दाखवा बरं!’ बाईंनी मुलांना काम दिलं. १०० + २०० + ३०० + . . . + १५०० ही बेरीज मोठय़ा मुलांनी चटकन केली, उत्तर १२००० आलं. ‘पहिलं आणि शेवटचं, दुसरं आणि चौदावं अशा पदांच्या बेरजा करत सात जोडय़ा १६०० मोहरांच्या आणि मधले ८०० मिळून १२००० झाले ना?’ मनीषाने खात्री करून घेतली.‘आता बिरबलाला किती मोहरा मिळाल्या? हवं तर कागद पेन्सिल घेऊन करा.’ बाई म्हणाल्या.‘बघा, मी सांगतच होतो, आजी बेरीज वजाबाकी करायला लावणारच.’ नंदू म्हणाला. ‘पण हे अवघड नाहीये!’ हर्षां म्हणाली. सतीश १, २, ४, ८, १६, ३२ अशा संख्या मांडत होता. ‘इथे आपण सतत दोनने गुणून दोनच्या वरचे घात पाहात आहोत. २चा दहावा घात, म्हणजे दहा वेळा दोन घेऊन त्यांचा गुणाकार केला की १०२४ मिळतात.’ बाई म्हणाल्या.‘मग एकादशीला बिरबलाला तेवढय़ा मोहरा मिळणार.’ सतीश म्हणाला.‘आणि नंतर चार दिवसांनी पौर्णिमेला १०२४ गुणिले १६ एवढय़ा मोहरा मिळणार!’ शीतल उद्गारली.‘आता १ + २ + ४ + ८ + . . . + १६३८४ या श्रेणीची बेरीज होते ३२७६७ ! जरा वरच्या वर्गात या श्रेणीची बेरीज करायला शिकाल. म्हणजे बिरबलाला किती जास्त मोहरा मिळाल्या पाहा. राणीच्या भावाने घेतलेली मोहरांची श्रेणी रोज १०० ने वाढणारी, अशा श्रेणीला अंकगणिती श्रेणी म्हणतात, तर बिरबलाने निवडलेली श्रेणी एकापासून सुरू होत असली, तरी दोनने गुणत भराभर वाढणारी, भूमिती श्रेणी आहे. बादशहाने महिनाभर भूमिती श्रेणीत दान करायचं ठरवलं असतं, तर त्याचं कधीच दिवाळं निघालं असतं.’ सुजाताने विचारले, ‘आणखीही मजेदार श्रेणी किंवा सीरीज आहेत ना? इंग्रजीमध्ये अशा संख्यांच्या मालिकेस सीरीज म्हणतात. फिबोनाची श्रेणी खूप मजेदार आहे. वनस्पतीशास्त्रात तिची सुंदर उदाहरणं आहेत.’‘होय तीही महत्त्वाची आहे. ती अनेक प्रकारांनी निर्माण करता येते. आपण एक प्रकार पाहू. या श्रेणीत पहिल्या दोन संख्या दिल्या, की प्रत्येक वेळी मागच्या दोन संख्यांची बेरीज करून पुढची संख्या मिळवतात. पहिल्या दोन संख्यांची बेरीज बरोबर तिसरी संख्या, दुसरी व तिसरी संख्या यांची बेरीज बरोबर चौथी संख्या अशा क्रमाने त्या शोधत जायचं.’ इति मालतीबाई.‘पहिली आणि दुसरी संख्या कोणती?’ अशोकने विचारले.‘पहिली शून्य, तर दुसरी एक संख्या आहे. आता पुढच्या काही संख्या तयार करा बरं!’ बाईंची सूचना ऐकून मुलांनी फिबोनाची श्रेणी तयार केली .. ०, १, १, २, ३, ५, ८, १३, २१, ३४, ५५, ८९ .. ‘या श्रेणीत काय खुबी आहे? दिसायला तर साध्या संख्या आहेत.’ सतीश म्हणाला.‘फिबोना नावाच्या बाईने तयार केली म्हणून तिचं नावं फिबोनाची श्रेणी आहे का?’ हर्षांने विचारले. आता सुजाताला हसू आवरेना. ती म्हणाली, ‘तसं नाही, लिओनार्दो फिबोनाची नावाचा गणिती इटलीमध्ये पिसा गावी होता. त्याने १२०२ मध्ये एका पुस्तकात या श्रेणीचं वर्णन केलं आहे, म्हणून हे नाव या श्रेणीला दिलं आहे. या श्रेणीचं वर्णन सशांच्या लोकसंख्या वाढीने देता येतं. समजा सुरुवातीला जवळ काही ससे नसताना एक तान्ह्या सशांची जोडी मिळाली, तर ती एक महिन्याने प्रौढ होते व नंतर एक महिन्याने आणखी एका जोडीला जन्म देते, प्रत्येक महिन्याला एक नर व एक मादी अशी जोडी ती जन्माला घालते. जन्मलेली पिले नेहमी एक महिन्याने प्रौढ होतात व त्या नंतर, दर महिन्याने एक जोडी याप्रमाणे एक पिलांची जोडी निर्माण करतात, तर सशांच्या जोडय़ा कशा तयार होतात?’ मनीषा, अशोक व शीतल लिहून पाहू लागले, प्रथम ०, मग पहिल्या महिन्यात मिळालेली १ तर दुसऱ्या महिन्यात किती बरं असं म्हणताच मालतीबाई म्हणाल्या, ‘पिलांची जोडी प्रौढ होऊन नवी पिले पोटात येण्याआधी एक महिना जायला हवा, म्हणून एक महिना ते बच्चे असणार, २ महिन्यांचे झाले की त्यांची पिले बाहेर येतील, त्यानंतर प्रत्येक महिन्यानंतर त्यांची पिले येत राहतील.‘ते पटल्यावर मग श्रेणी तयार झाली, ०, १, १, २, ३, ५, .. कारण प्रत्येक महिन्यात आदल्या महिन्यात आलेल्या नव्या जोडय़ा म्हणजे लहान बच्चे असल्याने ते नव्या जोडय़ा बनवत नाहीत, पण एक महिन्यापूर्वी ज्या जोडय़ा होत्या, त्या नव्या जोडय़ांना जन्म देतात. म्हणजे ५ नंतर ३ची भर पडणार, त्या वेळी नव्या २ जोडय़ा वयाने लहान असणार. याप्रमाणे श्रेणीतील संख्या वाढत जातात, ३, ५, ८, १३, २१, इत्यादी. सुजाता म्हणाली, ‘वनस्पतीशास्त्राचा अभ्यास करताना लक्षात आलं की, निसर्गात पाने, फुले, फळे यांची वाढ होत असताना अनेकदा या श्रेणीत नवनिर्मिती होत असते. झाडाच्या नव्या कोवळ्या फांदीवर पाने येताना एका खास आकाराच्या वक्र रेषेत किंवा स्पायरलमध्ये वर वर येतात, त्यामुळे त्यांना सूर्यप्रकाश भरपूर मिळतो व सर्व बाजूंनी वाढ होते.’ ‘हा कुठला आकार?’ असे शीतलने विचारताच तिने चटकन ही आकृती काढली. (आकृती १) ती पुढे म्हणाली, ‘यात १, १, २, ३, ५, ८ अशा बाजूंचे चौरस काढून त्यांच्या आत स्पर्श करणारी वक्र रेषा आहे. त्या रेषेचा घाट वाढणाऱ्या पानांच्या स्पायरलसारखा आहे. शिवाय अनेक वाढत जाणारी फळे किंवा फुले या श्रेणीत त्यांचे लहान भाग उत्पन्न करतात. मनीषा घरात एखादा कॉलीफ्लावरचा सबंध गड्डा आहे का?’‘कालच आणलाय,’ असं म्हणून मनीषा तो घेऊन आली. त्याच्यावर पांढऱ्या घट्ट फुलांची गर्दी होती तरी सुजाताने सगळ्यांना ती फुले जिथून वाढत जातात, त्या मधल्या पंचकोनापासून एका बाजूने ५ तर दुसऱ्या बाजूने ८ स्पायरलमध्ये कशी पसरत गेली आहेत ते दाखवलं. (आकृती २)ती पुढे म्हणाली, ‘आता एखादा अननस घेऊन निरीक्षण करा. त्यावर षटकोनी खवले असतात, ते देखील असेच स्पायरल रेषेत लावलेले दिसतात, लहान अननस असेल, तर ५, ८, १३ असे स्पायरल वेगवेगळ्या दिशांनी गेलेले दिसतात. मोठा अननस असेल तर ८, १३, २१ असे स्पायरल मोजता येतील.’आता अननस आणला की, तो कापून खाण्याच्या आधी त्याचे स्पायरल मोजायचे असं ठरवून मुले निघाली.
