27 August 2016

News Flash

गणितगप्पा : घडयाळाचे गणित: २

अशोक व शीतलने घडय़ाळाचे गणित सोडवण्यात बरीच प्रगती केली होती. मालतीबाईंच्या सूचनेवरून अशोक बाकीच्यांना

December 7, 2012 6:07 AM

अशोक व शीतलने घडय़ाळाचे गणित सोडवण्यात बरीच प्रगती केली होती. मालतीबाईंच्या सूचनेवरून अशोक बाकीच्यांना समजावू लागला. ‘लागोपाठच्या तासांच्या अंकात ५ घरे आहेत, सबंध वर्तुळात     ६० घरे आहेत आणि तास काटा एक घर जातो तेव्हा मिनीट काटा ६० घरे जातो. आता सुरुवातीला तास काटा ३च्या पुढे क्ष घरे गेलाय, तर मिनीट काटा ७च्या पुढे य घरे गेला आहे असे मानू. त्या आधी ३ वाजता तास काटा ३ वर, तर मिनीट काटा १२ वर होता. तिथून दोघांनी किती प्रवास केला पाहा.’
सगळ्यांनी घडय़ाळाचे नीट निरीक्षण केले. मग शीतल म्हणाली, ‘तेव्हापासून तास काटा क्ष घरे गेला, तर मिनीट काटा ३५ + य घरे गेला, कारण तो ७ व ८ च्या मध्ये पोहोचलाय. त्याचा वेग तास काटय़ाच्या बारापट आहे, म्हणून समीकरण मिळालं १२ क्ष = ३५ + य. श्यामराव परत आला तेव्हा काटय़ांची अदलाबदल झाली होती, त्या वेळी ७ वाजल्यानंतर दोघांनी किती प्रवास केला, ते पाहू.’
‘म्हणजे तास काटा ७ वर व मिनीट काटा १२ वर असल्यापासून, होय ना?’ मनीषाने विचारले.
‘हो, तेव्हापासून मिनीट काटा गेला १५ + क्ष घरे, तर तास काटा गेला य घरे.’ अशोक म्हणाला.
‘मग दुसरे समीकरण मिळणार १२ य = १५ + क्ष. मग ही दोन समीकरणं सोडवायला येतात नववी-दहावीच्या मुलांना. ती सोडवून उत्तर आलं आहे       क्ष = ४३५ १४३ आणि य = २१५१४३. मग दोन्ही काटय़ांची स्थिती पाहून असं समजलं की, श्यामराव घरातून निघाला, तेव्हा       ३ वाजून ३५ + य मिनिटं झाली होती. तर तो परत आला, तेव्हा ७ वाजून १५ + क्ष मिनिटं झाली होती. मग अक्षरांच्या किमती घालून वेळेची वजाबाकी करून उत्तर आलं की, श्यामराव एकूण ३ तास आणि ४१ ७ १३ मिनिटे घराबाहेर होता.’ शीतल म्हणाली, ‘पण हे सगळं करताना आमची चांगली दमछाक झाली. १४३ ने गुणणे भागणे करताना चुका झाल्या. परत परत तपासावं लागलं.’ मनीषा म्हणाली, ‘मला तर एवढी आकडेमोड नाही बाई जमणार.’

‘चिकाटीने गणित पुरे केल्यासाठी अशोक व शीतलला शाबासकी. पण हे गणित जरा वेगळा विचार करून बीजगणित किंवा समीकरण न वापरताही करता येतं,’ बाई म्हणाल्या.
‘ते कसं काय?’ सतीश उद्गारला.
बाई समजावू लागल्या, ‘जरा वेगळा विचार, सावकाश करा. मिनीट काटा एक तासात ६० घरे जातो आणि तास काटा त्याच वेळात ५ घरे जातो. दोघांचा वेग कायम आहे. प्रत्येक तासात दोघं मिळून ६५ घरे जातात. किंवा दोघं मिळून ६५ घरे जातात, तेव्हा एक तास पुरा होतो.’ सगळे लक्ष देऊन ऐकत होते, पण अजून प्रश्न कसा सोडवायचा कळत नव्हतं. बाई पुढे म्हणाल्या, ‘आता श्यामराव निघाल्यावर मिनीट काटा ३ पूर्ण वर्तुळे ओलांडून पुन्हा त्याच जागी येईल, तेव्हा ३ तास झाले असतील, मग चौथ्या तासात तो त्याच्या मूळ जागेपासून  ८, ९, १०, ११, १२, १, २, ३ यांना ओळीने ओलांडत ३ च्या पुढे तास काटय़ाच्या मूळ जागी येईल. तोवर तास काटा सावकाश जाऊन मिनीट काटय़ाच्या मूळ जागी पोहोचेल म्हणजे मिनीट काटय़ाचा चौथ्या मिनिटातला प्रवास व तास काटय़ाचा एकूण प्रवास हे मिळून एक पूर्ण वर्तुळ किंवा ६० घरे होतील.’ इथे बाई जरा थांबल्या व श्रोत्यांना समजून घ्यायला वेळ दिला. ‘आता दोन्ही काटय़ांनी मिळून एकूण किती प्रवास केला? एकूण पूर्ण ४ वर्तुळे किंवा २४० घरे झाली हे लक्षात आलं का?’
हळूहळू सगळ्यांना पटलं. मग शीतल म्हणाली, ‘२४० ला ६५ ने भागलं की श्यामराव किती वेळ बाहेर होते ते समजेल.’
‘तो वेळ आहे ३ ९ १३ तास. पण ते अशोक शीतलच्या उत्तरापेक्षा वेगळं दिसतंय,’  सतीश उद्गारला.
‘९ १३ या तासाच्या अपूर्णाकाची किती मिनिटं होतात पाहा,’ असं बाईंनी सांगितल्यावर त्याला पटलं की, उत्तर तेच आहे. ‘हे सोप्या पद्धतीने सोडवता आलं. पण निघण्याची व परत येण्याची वेळ यातून मिळाली नाही,’ अशोकने दाखवून दिलं.
बाई म्हणाल्या, ‘बरोबर आहे तुझं, तेही काढता येईल, जरा वेगळा विचार करून. दर तासामध्ये मिनीट काटा तास काटय़ापेक्षा ५५ घरे जास्त चालतो. तीन वाजल्यापासून श्यामराव बाजाराला जाईपर्यंत तो तास काटय़ापेक्षा किती घरे जास्त जातो?’
बाईंच्या प्रश्नाला अशोक सावकाश उत्तर देऊ लागला. ‘पंधरा अधिक तास काटय़ाच्या पहिल्या जागेपासून ते नव्या जागेपर्यंत. ती घरे तास काटा एकूण बाजाराच्या वेळात चालला. म्हणून ३  ९१३ तासांत तो किती घरे चालला ते काढता येईल.’
‘५ ने गुणलं, की उत्तर येतं १८  ६ १३ घरे. मग मिनीट काटा ३३  ६१३ घरे तास काटय़ापेक्षा जास्त जातो. ३ वाजल्यापासून श्य़ामराव निघेपर्यंत,’ शीतल म्हणाली.
‘आता त्या संख्येला ५५ने भागलं आणि ६०ने गुणलं, की मिनीट काटा बाजाराला निघताना कुठे होता, ते समजेल,’ बाईंनी पूर्ण उत्तर काढण्याची रीत सांगितली.
हर्षां व नंदू कंटाळलेले दिसले. नंदू तर म्हणालाच, ‘आजी, हे सगळं फक्त मोठय़ा मुलांसाठी झालं. आमच्यासाठी काय देतेस?’ बाई म्हणाल्या, ‘आपण तुमच्यासाठी वेगळ्या प्रकारची घडय़ाळं बनवून पाहू या का? १२ किंवा २४ ऐवजी वेगळे तास दाखवणारी?’
‘हे अगदी नवीन काही तरी दिसतंय,’ मनीषा म्हणाली.
‘माझ्या घडय़ाळात फक्त ७ पर्यंतच तास ठेवू,’ नंदूने सांगितलं, तर हर्षां म्हणाली, ‘माझ्या घडय़ाळात ८ तास हवेत.’
बाई म्हणाल्या, ‘ठीक आहे. सुरुवातीला दोन्ही घडय़ाळांत ओळीने  १ ते ७ वाजतील, मग नंदूच्या घडय़ाळात १ तर हर्षांच्या घडय़ाळात     ८ वाजतील, नंतर तिथे १ वाजेल.’
‘पण फारच गोंधळ होईल ना मग?’ सतीश म्हणाला. ‘ही आपली गमतीची खेळातली घडय़ाळं आहेत, व्यवहारात नाही कुणी वापरणार. पण कुणाच्या घडय़ाळात किती तासांनी शून्य तास येतो हे पाहणं गमतीचं आहे.’
‘माझ्या घडय़ाळात दर ७ तासांनी शून्य, तर हर्षांच्या घडय़ाळात दर ८ तासांनी शून्य!’ नंदूने नमूद केले.
‘माझ्या घडय़ाळात ५ वाजले तर नंदूकडे ३ वाजलेले असतील का? मग तो शाळेत असेल पण माझी शाळा सुटलेली असेल!’ हर्षां म्हणाली.
‘पण शाळेत कुठलं तरी एकच घडय़ाळ असेल ना?’ शीतलने तिला भानावर आणले.
‘तरी आपण पाहू शकतो, नंदूच्या घडय़ाळात ५, तर हर्षांच्या घडय़ाळात ३, एकाच वेळी वाजू शकतात का ते.’
‘म्हणजे अशी संख्या हवी, की तिला ८ ने भागलं, तर बाकी ५ आणि ७ ने भागलं तर बाकी ३ येते. त्या संख्येएवढे तास झाले, की हर्षांच्या मनासारखे तास दोन्ही घडय़ाळं दाखवतील,’ अशोकने सांगितलं.
‘शाब्बास अशोक, चांगलं विश्लेषण केलंस. अशा प्रकारची गणितं पूर्वी चिनी लोकांनी केली होती म्हणून या प्रश्नाला ‘चिनी बाकी’चं प्रमेय, किंवा Chinese Remainder Theorem  असं म्हणतात,’ बाईंनी माहिती दिली.
‘पण आम्हाला करता येईल असं काही आहे की नुसतेच मोठे मोठे शब्द ऐकायचे?’ नंदूने विचारले.
‘तुम्हाला जमेल अशीच सोपी रीत इथे सांगते. ८ ला ७ने भागलं की बाकी १ उरते, तर ८ त्रिक चोवीसला ७ने भागलं की बाकी ३ आहे, होय ना? आता ७च्या पाढय़ातली संख्या शोधा, जिला ८ने भागलं की बाकी ५ उरेल. ७चा पाढा तपासा.’ हर्षांने सांगितलं, ‘२१ला ८ने भागलं तर बाकी ५ येते.’
‘मग आता २४ + २१ ही बेरीज पाहा तपासून!’ बाईंनी उत्तर दाखवून दिले, ते सगळ्यांना पटले.

First Published on December 7, 2012 6:07 am

Web Title: maths talkmathematics of clock
टॅग Education,Maths-talk