विविध वेग आणि त्यांची समीकरणे

‘आजही आधी आम्हाला समजेल, जमेल असं गणित सांग बरं का आजी!’ नंदूने सुरुवातीलाच ताकीद

मुंबई | November 23, 2012 12:11 pm

‘आजही आधी आम्हाला समजेल, जमेल असं गणित सांग बरं का आजी!’ नंदूने सुरुवातीलाच ताकीद दिली. ‘जरूर, पण तुम्हाला जरा विचार केला पाहिजे, नेहमीपेक्षा जरा वेगळं गणित दिसलं तरी.’ मालतीबाईंनीदेखील सूचना केली. ‘ठीक आहे.’ नंदूचं आश्वासन मिळाल्यावर बाईंनी कोडं सांगायला सुरुवात केली. ‘एक माणूस नदीतून होडी वल्हवत नेतो. तो नदीच्या प्रवाहाबरोबर जाताना अर्थात जास्त वेगाने जातो, तर प्रवाहाच्या उलट दिशेने येताना त्याला प्रवाहाचा विरोध होऊन तो कमी वेगाने येतो. मित्राच्या गावी जाताना प्रवाहाबरोबर जातो, तीन तासांत पोहोचतो. तिथून परत येताना तेच अंतर कापायला त्याला सात तास लागतात. नदीचा वेग ताशी दोन किलोमीटर आहे, तर त्या दोन गावांमधलं अंतर आणि माणसाचा होडी वल्हवण्याचा वेग शोधा.’ ‘हे फार कठीण आहे बुवा! दुसरीतल्या मुलांना कसं येणार?’ नंदूने तक्रार केली. ‘बीजगणित वापरावं लागेल ना?’ सतीशने विचारले. ‘पण सोपं बीजगणित किंवा अक्षरं वापरून करायचं गणित मी शिकवलं आहे तुम्हाला. पहिली -दुसरीतल्या मुलांना ते जमू शकतं. तेव्हा प्रयत्न करा.’ हर्षां जरा विचार करत म्हणाली, ‘त्या माणसाचा वल्हवण्याचा वेग अक्षरात घेऊन करू या का?’ ‘शाबास, त्या वेगाला अक्षर माना बरं!’ इति बाई.  ‘वल्हवायचा वेग म मानू, मग तो तीन तासांत किती अंतर जाईल? त्याचा व नदीचा मिळून किती वेग होतो?’ ‘२ अधिक म होतो ना?’ नंदू विचार करू लागला. ‘बरोबर, सतीश आता तू लिहून दाखव तो माणूस मित्राकडे जाताना किती किलोमीटर वल्हवत जातो ते.’ बाईंच्या सूचनेवर सतीशने लिहिले
३ x (२ + म ). ‘शाबास, २ + म ही एकच संख्या दोन भागांत आहे आणि तिला गुणायचं आहे, म्हणून तिच्या भोवती कंस घालावा, म्हणजे गुणाकार किंवा भागाकार करताना चूक होण्याची शक्यता कमी. आता परत येताना त्याचा वेग काय असेल?’ नंदूने विचारले, ‘म – २ असेल का?’ ‘बरोबर आणि ते अंतर ७ तासांत ओलांडलं म्हणून ते किती आहे?’ आता हर्षांने लिहून दाखवलं, ७ x (म – २) आणि शाबासकी घेतली. ‘जातानाचं आणि येतानाचं अंतर एकच आहे ना?’ बाईंचा प्रश्न ऐकून नंदू उद्गारला, ‘म्हणजे समीकरण मिळतं ना?’ ‘बरोबर, आता ते सोपं समीकरण लिहून सोडवा बरं, तुम्हाला शिकवलेत त्याचे नियम.’ ‘हो, कंस सोडवून दोन्ही बाजूंच्या वर सारखी क्रिया करत म या अक्षराची किंमत काढायची.’ असं म्हणून सतीशने ३ (२ + म) = ७ ( म – २ ) हे समीकरण लिहिले, ते हर्षांने पुढे  ६ + ३ म = ७ म – १४ असे लिहून मग नंदूने ४ म = २०, म्हणून म = ५ असे उत्तर काढून दाखवले. ‘सोपे नियम लक्षात ठेवून साधी समीकरणं सोडवायला दुसरीतल्या मुलांना काहीच हरकत नाही , तेव्हा आता नंदू आणि हर्षां, तुम्ही असली गणितं सोडवायचा सराव करा.’
नंतर अशोक व शीतलनी मोठय़ा मुलांना कोडं द्यायला सांगितलं व बाई ते देऊ लागल्या. ‘प्राध्यापक मुखर्जी कोलकात्यात राहतात, ते रोज संध्याकाळी ट्रॅमच्या रस्त्याने कालीमंदिरापासून पार्कपर्यंत फिरायला जातात.’ ‘ट्रॅम म्हणजे आगगाडीच्या सारखी रुळावरून जाते ना?’ नंदूने विचारले. ‘होय, मात्र ती शहरातून आणि इतर वाहनांच्या मानाने सावकाश जाते. पूर्वी मुंबईतही होती, आता फक्त कोलकात्यात दिसते.’ बाईंनी सांगितले. ‘म्हणून आपलं कोडं कोलकात्यात झालं आहे ना?’ हर्षां उद्गारली. बाई हसून म्हणाल्या, ‘होय रे बाबांनो, पण आता कोडं ऐकाल की नाही? मुखर्जी महाशय ट्रॅमच्या रुळांच्या बाजूने जाताना दर बारा मिनिटांनी एक ट्रॅम त्यांच्या मागून येऊन पुढे जाते, तर दर सहा मिनिटांनी एक ट्रॅम समोरून येते व त्यांच्या जवळून विरुद्ध दिशेला जाते. वास्तविक कालिमंदिर व पार्क यांच्या पासून नेहमी एकाच व ठराविक वेळाने ट्रॅम सुटतात व एकाच वेगाने जातात. प्राध्यापक मुखर्जीचा वेगही कायम असतो. तर त्या ट्रॅम खरोखर किती मिनिटांनी सुटत असतात?’ ‘चांगलंच कठीण दिसतंय हे कोडं. मुखर्जीचा चालण्याचा किंवा ट्रॅमचा वेग, काहीच माहीत नाही ना,’ शीतल म्हणाली. ‘त्याची जरुरी नाही.’ इति बाई. ‘मुखर्जीच्या दिशेने जाणाऱ्या ट्रॅम दर १२ मिनिटांनी, तर उलटय़ा दिशेने येणाऱ्या दर ६ मिनिटांनी येतात,    १२ व ६ यांचा मध्य किंवा सरासरी ९ आहे, म्हणून वास्तविक ट्रॅम दर     ९ मिनिटांनी येतात हे बरोबर आहे का?’ मनीषाने विचारले. ‘नाही, इथे सरासरी काढून उपयोगी नाही.’ इति बाई. ‘हेदेखील बीजगणिताचा उपयोग करून सोडवायचं असेल,’ शीतल म्हणाली. ‘पण अक्षर कुठल्या संख्येला मानायचं? मुखर्जीच्या वेगाला मानू या?’ अशोक म्हणाला. ‘चालेल, पण दिलेल्या माहितीचा उपयोग करून समीकरण कसं मांडायचं?’ शीतलचा प्रश्न. ‘थोडा वेगळा मुद्दा पाहा. मुखर्जी जर स्वस्थ उभे राहिले, तर ट्रॅम दर किती मिनिटांनी येईल?’ बाईंनी सुचवले. ‘दर क मिनिटांनी ट्रॅम सुटते, असं मानू. मुखर्जीचा चालण्याचा वेग मिनिटाला म किलोमीटर, तर ट्रॅमचा वेग मिनिटाला ट मानू,’ अशोक म्हणाला. ‘एवढी अक्षरं शोधायची?’ सतीश वैतागलेला दिसला. ‘दिलेली माहिती अक्षरांच्या भाषेत लिहिणं महत्त्वाचं. मग पाहता येईल त्यांच्या किमती कशा शोधायच्या ते,’ बाई म्हणाल्या. ‘मुखर्जी स्वस्थ उभे असते, तर दर क मिनिटांनी ट्रॅम मागून आली असती. आता ट्रॅम क मिनिटांपेक्षा जास्त वेळ चालून मुखर्जीना गाठते. पहिली ट्रॅम जवळून गेल्यावर ते १२ मिनिटं पुढे चालतात तेव्हा दुसरी येते मागून. मग ते १२ म किलोमीटर चालतात, तर ट्रॅम किती जास्त चालते त्यांना गाठायला?’ आता शीतलचे डोळे चमकले. ती म्हणाली, ‘ट्रॅमला  १२ – क मिनिटे जास्त चालावं लागलं.’ मनीषा म्हणाली, ‘मला नाही समजलं ट्रॅमला का जास्त चालावं लागलं, ती तर नेहमीच्या मार्गाने व वेगाने जातेय.’ ‘असं समजा की मुखर्जी अ या िबदूजवळ असताना पहिली ट्रॅम त्यांच्या जवळून गेली. मग ते तिथेच उभे राहिले, तर नंतरची ट्रॅम क वेळाने जवळून जाईल होय ना? पण ते पुढे चालत राहिले  १२ मिनिटं, म्हणून    १२ म किलोमीटर पुढे, ब या िबदूपर्यंत गेले म्हणून नंतरची ट्रॅम कपेक्षा जास्त वेळ घेऊन तिथे पोहोचली, तिने १२- क एवढा वेळ जास्त घेतला, म्हणून ती अच्या किती पुढे गेली?’ ‘१२ – क मिनिटे, म्हणून अब हे अंतर १२ म तसंच ट x (१२ – क ) आहे.’ अशोकने समजावले. ‘म्हणजे समीकरण तर मिळालं.’ सतीश उद्गारला. ‘आता तसंच उलटय़ा दिशेच्या ट्रॅम वरून दुसरं समीकरण मिळवायचं ना?’ शीतलने ओळखले. ‘हो, तू करून दाखव ते!’ बाईंनी सूचना केली. शीतल हळूहळू सांगत गेली, ‘उलट दिशेने येणारी ट्रॅम कपेक्षा कमी वेळात मुखर्जीना भेटते. आता ६ मिनिटांत ते ६ म  किलोमीटर पुढे चालून गेले तेच अंतर ट्रॅमला क – ६ मिनिटं कमी चालावं लागलं. म्हणून ते ट x (क – ६) एवढं आहे. मग दोन समीकरणे अशी आहेत. १२ म = ट x (१२ – क ) आणि ६ म = ट x ( क – ६). ‘अक्षरं जास्त आहेत म्हणून काळजी नको, आपण टने प्रत्येक समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना भागू या, मग  म ट  आणि क यांच्या किमती काढू या,’ बाईंनी सुचवले व त्याप्रमाणे अशोकने किमती काढल्या
 म ट  = १ ३ . आणि क = ८. इतरांनीही ते तपासून पाहिलं. ‘इथे मुखर्जी व ट्रॅम यांचे वेग समजत नाहीत, पण त्यांचं गुणोत्तर समजतं,’ बाईंनी नमूद केले. सरावासाठी हेच गणित संख्या थोडय़ा बदलून करा. मुखर्जीच्या दिशेने जाणारी ट्रॅम दर १२ मिनिटांनी त्यांच्या जवळून पुढे जाते, तर उलट दिशेने येणारी दर ४ मिनिटांनी भेटते, तर ट्रॅम किती वेळाने सुटतात?

First Published on November 23, 2012 12:11 pm

Web Title: speed and equation