03 May 2016

घडय़ाळाचे गणित – १

‘आज पुन्हा बेरीज - वजाबाकी पाहू या का?’ मालतीबाईंनी विचारले.‘आपण बेरीज - वजाबाकी

मुंबई | November 30, 2012 5:18 AM

‘आज पुन्हा बेरीज – वजाबाकी  पाहू या का?’ मालतीबाईंनी विचारले.‘आपण बेरीज – वजाबाकी तर केव्हाच शिकलो आहोत. आम्हाला हातचा घेण्याच्या बेरजा व वजाबाक्यादेखील येतात चांगल्या.’ नंदूने बढाई मारली.
‘पण जरा वेगळ्या बेरजा पाहू या. तुझी शाळा किती वाजता चालू होते?’ बाईंनी विचारले.
‘सकाळी नऊ वाजता!’ त्याचे उत्तर आले.
‘नऊ आणि सहा किती होतात?’ या प्रश्नाला त्याने उत्तर दिले ‘पंधरा! आज इतके सोपे प्रश्न विचारणार आहेस का?’ नंदूला प्रश्न पडला.
‘पण ते उत्तर नेहमीच बरोबर असतं असं नाही. घडय़ाळात नऊमध्ये सहा तास मिळवले की किती होतात?’ बाईंच्या प्रश्नाला हर्षांने उत्तर दिलं, ‘तीन वाजतात घडय़ाळात तेव्हा.’
‘म्हणजे घडय़ाळाची बेरीज वेगळी असते साध्या बेरजेपेक्षा!’ मनीषा म्हणाली.
‘बरोबर, तेच दाखवायचं होतं मला. आपण गणिताचे मूलभूत नियम बदलले, तर आपल्या प्रश्नांची उत्तरे वेगळी येऊ शकतात. रोजच्या घडय़ाळात १२ पेक्षा जास्त संख्या नसतात, त्यामुळे १२ वाजले की शून्य वाजले असं मानून आपण पुन्हा एकपासून मोजायला सुरुवात करतो.’
अशोक म्हणाला, ‘रेल्वे किंवा विमानसेवेचं टाइम टेबल तर २४ तासांचं घडय़ाळ वापरतं. दुपारच्या चारऐवजी १६, रात्रीच्या दहाऐवजी २२ अशा संख्या वापरतात, २४ म्हणजे मध्यरात्रीचे बारा, मग दिवसाची तारीख बदलून पुन्हा एकपासून तास मोजायाला सुरुवात करायची.’
‘होय, घरात आपण बारा तासांचं घडय़ाळ वापरतो, तर रेल्वे व विमानसेवा २४ तासांचं घडय़ाळ वापरतात, मग ५ वाजले तर सकाळचे की दुपारचे, हा प्रश्न राहत नाही. दुपारच्या ५ साठी १७ वाजलेले दिसतात. ते सोयीचं असतं.’ मनीषाला आठवलं, ‘तरीसुद्धा आमचे पाहुणे इंग्लंडहून येणार होते, त्यांचा गोंधळ झालाच. २२ तारखेला इंग्लंडहून निघणार असं कळवून फ्लाइट नंबर दिला होता, महेश त्यांना आणायला विमानतळावर गेला, पण त्यांचा पत्ताच नव्हता. २२ तारखेला ते घरून निघाले, तरी त्यांचं विमान मध्यरात्रीनंतर, २३ तारखेला पहाटे एकला निघणार होतं, म्हणजे प्रवास २३ तारखेचा होता. असा गोंधळ झाल्यामुळे महेशला लागोपाठ दोन दिवस विमानतळावर जावं लागलं.’
‘असा गोंधळ होऊ नये म्हणून २२ -२३ च्या रात्री निघणार, असंही कळवावं. म्हणजे निश्चित वेळ समजते.’
‘हो, ते आम्ही या अनुभवाने शिकलो.’ इति मनीषा.
‘घडय़ाळात किती काटे असतात, ते कसे फिरतात हे माहीत आहे ना सगळ्यांना?’ बाईंच्या प्रश्नाला हर्षां व नंदू ‘हो’ असं एक सुरात म्हणाले. ‘मग बुटका तास काटा सावकाश, तर लांब मिनिट काटा भराभर जातो, हे माहीत आहेच!’ बाई असं म्हणाल्यावर हर्षां म्हणाली, ‘तास काटा १२ तासांत वर्तुळ पूर्ण करतो, तर मिनिट काटा एक तासात वर्तुळ पूर्ण करतो.’
‘दुपारी बारा वाजता मिनिट काटा तास काटय़ावर असतो की नाही? आता प्रश्न असा आहे, की तेव्हापासून रात्रीचे बारा वाजेपर्यंत मिनिट काटा असा तासकाटय़ावर किती वेळा येतो?’
प्रश्न ऐकून सगळे विचार करायला लागले. अशोक म्हणाला, ‘दोन्ही काटय़ांचा वेग पाहून बीजगणित वापरून करता येईल हे गणित.’
‘हो, पण त्याशिवायदेखील सोप्या रीतीने करता येईल’ असं बाई म्हणाल्यावर ‘प्रत्येक तासानंतर, १ वाजून गेल्यावर एकदा, २ वाजून गेल्यावर एकदा मिनिट काटा तास काटय़ावरून जातो, १ ते १२ एवढय़ा तासांच्या नंतर तो १२ वेळा तास काटय़ावरून जाईल ना?’ सतीशने विचारले.
‘बरोबर नाही हे उत्तर! जरा नीट विचार करा. १ वाजून गेल्यावर ५ मिनिटानीसुद्धा मिनिट काटा तास काटय़ाच्या जरासा मागे असेल, नंतर लवकरच तो प्रथम तास काटय़ावरून जाईल. मग २ नंतर दहा मिनिटं झाल्यावर थोडय़ा वेळाने तो तास काटय़ावरून दुसऱ्यांदा जाईल. असं तपासत जा बरं दहा वाजेपर्यंत!’
बाईंच्या सूचनेप्रमाणे शीतल सांगू लागली, ‘१० वाजून ५० मिनिटं झाल्यावर काही वेळाने मिनिट काटा तास काटय़ावरून दहाव्यांदा जाईल.’
‘तेव्हा ते दोघे कुठे असतील? म्हणजे १० आणि ११ च्या मध्ये ५ घरं आहेत, तर त्यात कुठे असतील? टेबलावरच्या घडय़ाळात काटे फिरवून पाहू या.’
मनीषाने तसं करून पाहिलं. (आकृती १ पहा)
‘त्या वेळी किती वाजले आहेत पाहा. नंदू तू सांग बरं!’ इति बाई.
नंदू म्हणाला, ‘दहा वाजून पन्नास मिनिटं होऊन गेली आहेत.’
‘आणि अकरा वाजायला सहाच्या जवळपास मिनिटं उरलीत!’ हर्षां उद्गारली.
‘म्हणजे दहाव्यांदा मिनिट काटा तास काटय़ावरून जातो, तेव्हा अकरा वाजायला तेवढाच वेळ उरलाय. मग अकरा वाजून गेल्यानंतर परत मिनिट काटा तास काटय़ावर येईल तेव्हा किती वाजले असतील?’
‘तेव्हा तर बारा वाजतील!’ सतीश म्हणाला.
‘आता समजलं, पुन्हा बारा वाजेपर्यंत एकूण अकरा वेळा मिनिट काटा तास काटय़ाला भेटेल.’
‘बीजगणित वापरून उत्तर काढायला वेळ लागेल, मिनिट काटय़ाचा वेग तासाला ६० घरं, तास काटय़ाचा वेग तासाला ५ घरं आहे, असं लक्षात घेऊन तास काटय़ाला भेटून पुढे गेला की मिनिट काटा किती वेळाने पुन्हा भेटेल ते शोधा, मग १२ तासांचे तेवढे किती तुकडे होतात ते काढा.’
‘सारखे तुकडे म्हणजे भागाकार ना?’
‘शाबास, बघ, दुसरीतल्या मुलालासुद्धा लक्ष दिलं आणि चिकाटी दाखवली, तर अशी गणितं करता येतात. आता एक जरा अवघड गणित सांगते, प्रयत्न करा सोडवायचा, वेळ लागेल. पुढच्या वेळी उत्तर सांगेन. हे मात्र मोठय़ा मुलांच्या साठी आहे बरं का.’ बाईंचं बोलणं ऐकून अशोक, शीतल आणि सतीश लक्ष देऊन ऐकू लागले. ‘शामराव बाजारात गेला, तेव्हा घडय़ाळात तासाचा काटा ३ व ४ च्या मध्ये कुठेतरी होता, तर मिनिट काटा ७ व ८ यांच्या दरम्यान होता. तो बाजारातून परत आला, तेव्हा त्या काटय़ांची बरोबर अदलाबदल झाली होती, मिनिट काटा गेला होता ३ व ४ च्या दरम्यान, तास काटय़ाच्या पहिल्या जागेवर, तर तास काटा गेला होता मिनिट काटय़ाच्या पहिल्या जागेवर. तर तो एकूण किती वेळ घराबाहेर गेला होता? शिवाय ते काटे सुरुवातीला नक्की कुठे होते तेही शोधा.’ बाईंचे कोडे सांगून झाले. (आकृती २ पहा)
‘काटय़ांची कुठलीही स्थिती असली तर त्यांची अदलाबदल होऊ शकते का?’ मनीषाला प्रश्न पडला.
‘चांगला प्रश्न आहे, पाहा वेगळ्या स्थिती घेऊन! उदाहरणार्थ दोन वाजता कुठे असतात काटे? त्यांची अदलाबदल होईल का? हर्षां तू पाहा.’ बाईंनी सुचवले.
‘तास काटा २ वर, मिनिट काटा १२ वर. पण त्यांच्या स्थितीची अदलाबदल होऊ शकणार नाही, कारण मिनिट काटा २ वर जातो, तेव्हा काही तरी तास वाजून दहा मिनिटं होतात, मग तास काटा त्या तासावरून थोडा पुढे जातो.’ हर्षांने विचार करून उत्तर दिले व शाबासकी घेतली.     

First Published on November 30, 2012 5:18 am

Web Title: watch mathematics