06 May 2016

तराजू आणि वजनकाटा

‘‘आज आम्हाला सोडवता येईल असं कोडं दे ना आजी! फक्त या मोठय़ा मुलांना जमेल

November 16, 2012 1:04 AM

‘‘आज आम्हाला सोडवता येईल असं कोडं दे ना आजी! फक्त या मोठय़ा मुलांना जमेल असं नको.’’ नंदूने सुरुवातीला बजावले. ‘‘ठीक आहे, मग आज आधी तीन लाडूंचं कोडं पाहा.’’ बाईंचे कोडे सांगणे चालू झाले. लाडू हा शब्द ऐकताच मुलांचे चेहरे जरा खुलले. ‘‘समजा, मी तीन सारख्या वजनाचे बेसनाचे लाडू केले आहेत, नंतर त्यापकी एकात एक रुपयाचं नाणं लपवलं आहे. एरवी सगळे लाडू सारखेच दिसतात, तर त्यातला रुपया असलेला लाडू कसा ओळखाल?’’ नंदू लगेच म्हणाला, ‘‘मी सगळे खाऊन पाहीन!’’ शीतल उद्गारली, ‘‘अरे, आताच दिवाळी झाली. अजून एवढे लाडू खायची इच्छा आहे का तुला?’’  ‘‘की रुपया शोधायला तीनही लाडू उष्टे करून ठेवणार?’’ सतीशचा प्रश्न. हर्षांची युक्ती जास्त बरी होती. ती म्हणाली, ‘‘सुरी घेऊन प्रत्येक लाडू कापू या, मग त्यांचे सहा तुकडे होतील, रुपया मिळेल आणि आपल्याला प्रत्येकाला लाडवाचा तुकडा खायला मिळेल.’’  ‘‘लाडू मोडायचे नाहीत, पण तराजू वापरायला मिळेल. मात्र एकदाच तराजू वापरायचा.’’ बाई म्हणाल्या. ‘‘हे सोपं आहे, जरा विचार केला तर नंदू व हर्षां यांना करता येईल.’’ त्याप्रमाणे हर्षांला आधी उत्तर आलं. ती म्हणाली, ‘‘एकेका पारडय़ात एकेक लाडू ठेवू, एक जड असेल, तर त्यात रुपया आहे, दोन्ही सारख्या वजनाचे असले, तर उरलेला जड असेल, त्यात रुपया असेल.’’ तिला शाबासकी देऊन बाई पुढे म्हणाल्या, ‘‘आता किंचित अवघड, पण तुम्हाला येईल असं कोडं पाहू. आपल्या जवळ सात चेंडू आहेत, त्यातला एक जरा जास्त वजनाचा आहे, बाकी सहा सारख्या वजनाचे आहेत. दिसायला मात्र सगळे सारखे आहेत. आता तराजू फक्त दोन वेळा वापरून आपल्याला कुठला चेंडू जास्त जड आहे, हे ठरवता येईल का? हर्षां आणि नंदूने आधी प्रयत्न करायचा बरं का, त्यांना नाही आलं, तर मोठय़ा मुलांनी सांगायचे!’’ थोडा वेळ विचार करून हर्षां म्हणाली, ‘‘तीन तीन चेंडू दोन्ही पारडय़ांत ठेवूया. सारख्या वजनाचे झाले, तर उरलेला सातवा जड असेल. एक पारडं जड झालं, तर त्यात जड चेंडू असेल.’’ ‘‘शाबास, आता नंदू तू पुढे काय करायचं सांग .’’ बाईंच्या सूचनेवर तो म्हणाला, ‘‘मग त्या जड पारडय़ातले दोन चेंडू घेऊन तोलून पाहायचे, एक जड असेल किंवा ते सारखे असले, तर उरलेला तिसरा जड असणार! ’’
       
सतीश म्हणाला, ‘‘आणखी एक पद्धत आहे जड चेंडू ओळखण्याची. सुरुवातीला दोन दोन चेंडू पारडय़ात ठेवू. सारख्या वजनाचे असले, तर उरलेल्या तिघांत जड चेंडू आहे, नाही तर ज्या पारडय़ात जड चेंडू असेल, ते खाली जाईल. मग दुसऱ्या वेळी वजन करताना जड चेंडू ओळखेल.’’ ‘‘शाबास, कधी कधी एकाहून जास्त पद्धती असतात प्रश्न सोडवण्याच्या. आपण जास्तीत जास्त पद्धती शोधायचा प्रयत्न करावा.’’
अशोक म्हणाला, ‘‘आता आम्हाला- मोठय़ा मुलांना जरा चॅलेिन्जग असं कोडं घाला ना!’’ तेव्हा बाईंनी एक नवीन कोडं घातलं. ‘‘एका कारखान्यात दहा मशिन्स विशिष्ट जाडीच्या चकत्या बनवतात. त्यांची वजने व मापे अतिशय अचूक असणे आवश्यक आहे. दहापकी एका मशीनमध्ये दोष निर्माण झाला व ते १०० ग्रॅमऐवजी ११० ग्रॅम वजनाच्या चकत्या बनवू लागले. आता वजनाचे इलेक्ट्रॉनिक स्केल किंवा काटा एकदाच वापरून त्या दहापकी कुठलं मशीन १०० ऐवजी ११० ग्रॅम वजनाच्या चकत्या बनवतं आहे, हे शोधता येईल का?’’ ‘‘हे कठीण दिसतंय. कुठल्याही मशीनमध्ये बनलेल्या चकत्या काटय़ावर ठेवता येतात ना?’’ मनीषाने विचारले. ‘‘आणि कितीही चकत्यांचे अचूक वजन काटा सांगेल ना?’’ सतीशचा प्रश्न आला. दोन्ही प्रश्नांना ‘‘हो’’ हे उत्तर देऊन बाईंनी जरा विचार करायला वेळ दिला. अखेर अशोकने बाईंना उत्तर सांगण्याची विनंती केली. त्या सांगू लागल्या. ‘‘पहिल्या मशीनमध्ये बनलेली एक चकती, दुसऱ्यात बनलेल्या दोन चकत्या, तिसऱ्यात बनलेल्या तीन चकत्या, अशा चकत्या घ्या. अशा क्रमाने चकत्या घेताना  नवव्या मशीनमध्ये बनलेल्या नऊ आणि दहाव्या मशीनमध्ये बनलेल्या दहा चकत्या घ्यायच्या. एकूण किती चकत्या घेतल्या जातील?’’ अशोक म्हणाला, ‘‘एक ते दहाची बेरीज ५५ होते हे माहीत आहे आम्हाला.’’ ‘‘आता या सगळ्या चकत्या योग्य वजनाच्या असत्या, तर त्यांचं सगळ्यांचं मिळून वजन साडेपाच किलो झालं असतं होय ना? पण काही चकत्या सदोष मशीनने जास्त वजनाच्या केल्या आहेत. आता सुचतंय का उत्तर?’’ शीतल व अशोक दोघांच्याही लक्षात आलं. शीतल म्हणाली, ‘‘दोन नंबरचं मशीन जास्त वजनाच्या चकत्या बनवत असेल, तर दोन चकत्यांचं वजन जास्त म्हणून त्या ५५ चकत्यांचं वजन २० ग्रॅम जास्त भरेल.’’ ‘‘आणि सात नंबरचं मशीन सदोष असेल, तर त्या चकत्यांचं वजन ७० ग्रॅम जास्त भरेल.’’ ‘‘शाबास, समजलं तुम्हाला उत्तर.’’ ‘‘पण त्यांना आपल्या आपण तुझ्या मदतीशिवाय कुठे आलं उत्तर?’’ नंदूने चिडवून घेतलं. ‘‘अरे, कठीण किंवा नव्या पद्धतीचा विचार आवश्यक असलेला प्रश्न चटकन सोडवता येतोच असं नाही, पण प्रयत्न तरी करावा आणि त्यानंतर दुसऱ्याच्या मदतीने उत्तर शोधता आलं तरी ते महत्त्वाचं असतं, मुख्य म्हणजे ते चांगलं समजतं आणि लक्षात राहतं. गणिताचा अभ्यास करताना हे फार उपयोगी आहे.’’

First Published on November 16, 2012 1:04 am

Web Title: weight machine and his indicator arrow