मागील लेखात आपण ताíकक अनुमान आणि विश्लेषणात्मक चाचणी या घटकातील काही विषयांवर चर्चा केली. तसेच काही ठरावीक प्रकारचे प्रश्न सोडविण्यासाठी आवश्यक अशा पूर्वतयारीचीही चर्चा केली. आजच्या लेखात आपण याच घटकातील आणखी काही विषय समजून घेणार आहोत. संख्यांच्या मांडणीतील सूत्र ओळखणे या घटकातील प्रश्नांमध्ये संख्यामधील गणिती संबंधांबरोबरच त्या संख्यांचे भौमितिक रचनांमधील स्थान व त्यामुळे तयार होणारी तर्कसंगती याचा विचार करून उत्तर शोधणे अपेक्षित आहे. जसे की, क्रमागत येणाऱ्या एकाआड एक विषम संख्या चौरसाच्या प्रत्येक अंतर्गत कोनांमध्ये दिल्या असतील तर त्यामधील संख्या चौरसाच्या बाह्य़कोनांजवळ दर्शवलेल्या असतील. अनेकदा चौरसातील नऊ लहान चौरसांपकी आठमध्ये काही संख्या दिलेल्या असतात व नवव्या चौरसातील संख्या योग्य तर्कसंगतीनुसार शोधून काढणे अपेक्षित असते. काही वेळेला चौरस किंवा त्रिकोण किंवा वर्तुळ यामध्ये वेगवेगळ्या प्रकारे संख्यांची रचना त्यातील वेगवेगळ्या संबंधांप्रमाणे केलेली असते. या आकृत्यांच्या आत किंवा बाहेर संख्या दिलेल्या असतात. अशा प्रकारचे प्रश्न परीक्षेमध्ये कमीत कमी वेळात प्रभावी पद्धतीने सोडविण्यासाठी जास्तीत जास्त सरावाची गरज असते. तसेच पाढे पाठ असणे, १ ते ३० संख्यांचे वर्ग, एक ते १० संख्यांचे घन, वर्गमुळे, घनमुळे या सर्वाचे पाठांतर असणे आवश्यक असते. तसेच जास्तीत जास्त सरावाने अशा प्रकारच्या प्रश्नांबद्दलची अचूकता व ते कमी वेळात करण्याचे कौशल्य विकसित करता येते. रांगेतील स्थान व दिशाज्ञान रांगेतील वस्तूंचे स्थान दोन्ही बाजूंकडून दिलेले असते; तेव्हा रांगेतील एकूण व्यक्ती मोजताना एखादी वस्तू दोनदा मोजली जाणार नाही याची काळजी घ्यावी. रांगेतील वस्तूंच्या एकूण संख्येपेक्षा १ ने मोठय़ा असलेल्या संख्येच्या निम्मी असलेली संख्या मध्यभागी असलेला क्रमांक दाखवते. उदा. रांगेत २५ वस्तू असतील; तर त्यापेक्षा १ ने मोठी संख्या २६ आणि याच्या निम्मे १३ म्हणजे, मध्यभागी असणारा क्रमांक १३. दिशाज्ञानावर आधारित प्रश्नांमध्ये चार मुख्य दिशा व चार उपदिशा यांच्या संदर्भात प्रश्न विचारले जातात. हे प्रश्न सोडवण्यासाठी या आठ दिशांची, तसेच एखाद्या दिशेकडे प्रवास करत असताना उजवीकडे अथवा डावीकडे कोणती दिशा असेल याबद्दलचे ज्ञान, तसेच ते गरजेप्रमाणे वापरण्याचे कौशल्य हवे. समोरासमोरील दिशा, उगवतीची/मावळतीची दिशा, यांची अचूक माहिती असणे अत्यंत आवश्यक आहे. याच प्रश्नप्रकारात एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी पोहोचेपर्यंत किती वेळा डावीकडे/उजवीकडे व्यक्ती वळते, हेही विचारले जाते. दिशांच्या ज्ञानाचा योग्य वापर करून प्रश्न सोडवता येणे अपेक्षित आहे. अनेक वेळा दिशांचे प्रश्न सोडवत असताना भारताचा नकाशा डोळ्यांसमोर आणणे व त्यावरून कल्पना करून प्रश्न सोडवणे उपयुक्त ठरू शकते. जसे की, एक व्यक्ती उत्तरेकडे तोंड करून उभी होती (काश्मीरकडे), ती उजवीकडे वळाली (बंगालकडे) व नंतर दोन वेळा डावीकडे वळाली (पुन्हा काश्मीर व राजस्थान), तर तिचे तोंड पश्चिमेकडे आहे हे ओळखणे सोपे जाते. वरील गोष्टी लक्षात ठेवून प्रश्न सोडवावेत. वेन आकृत्यांवर आधारित प्रश्न व अवयव-घटित वाक्य (Syllogism) या घटकामध्ये प्रत्येक भौमितिक आकृती एक विशिष्ट घटक दर्शवते. हे घटक कोणतेही असू शकतात. जसे की, माणूस, धातू, सोने, झाडे इत्यादी. या सर्व घटकांचे एकमेकांशी असलेले तर्कावर आधारित संबंध लक्षात घेऊन तेच संबंध या भौमितिक आकारांच्या साहाय्याने कसे दाखवता येतील याबद्दलचे कौशल्य तपासणारा हा घटक आहे. अशा प्रकारे जेव्हा घटकांमधील आंतरसंबंध भौमितिक आकृत्यांच्या साहाय्याने दर्शवले जातात, तेव्हा त्यास ‘वेन आकृती’ असे म्हणतात. या आकृतीमधील जे भाग एकमेकांना छेदतात व त्यातून जे नवीन भाग तयार होतात, त्यांचे मूळ घटकांशी तर्कसंगत नाते काय? याचाही विचार करणे अपेक्षित आहे. वेन आकृत्यांद्वारे विविध घटकांमधील तर्कसंगती दाखवता येणे अथवा वेन आकृतीवरून तर्कसंगती ओळखता येणे या कौशल्यांचा उपयोग ‘अवयव-घटित वाक्य (Syllogism) या अतिशय महत्त्वाच्या घटकामध्ये होतो. किंबहुना, या घटकामध्ये प्रावीण्य मिळविण्यासाठी वेन आकृत्यांबद्दलच्या संकल्पना, त्यामधील वैविध्य तसेच वेगवेगळ्या वेन आकृत्यांमधील तर्कसंगतीतील सूक्ष्म फरक ओळखता येणे अतिशय गरजेचे आहे. Syllogism या घटकामध्ये सुरुवातीला जरी प्रश्न गुंतागुंतीचे वाटत असले, तरीदेखील पुरेशा सरावानंतर या प्रश्नांवर चांगली पकड घेता येते. यूपीएससी पूर्वपरीक्षेमध्ये आतापर्यंत झालेल्या सर्व परीक्षांमध्ये या घटकावर आधारित प्रश्न निश्चित विचारले गेले आहेत, तसेच त्यांची संख्यादेखील लक्षात घेण्यासारखी आहे. Syllogism या घटकावर आधारित साधारणत: सरासरी पाच-सात प्रश्न विचारले गेले आहेत. म्हणूनच सुरुवातीला जरी किचकट आणि गुंतागुंतीचे वाटत असले तरी या घटकावर भर देणे आवश्यक आहे. ताíकक अनुमान आणि विश्लेषणात्मक चाचणी या घटकाची एक जमेची बाजू म्हणजे कोणत्याही प्रकारची माहिती, सूत्रे, प्रमेय लक्षात ठेवावी लागत नाहीत. परीक्षेमध्ये प्रश्न व असल्यास आकृती यांच्या साहाय्याने व ताíकक सुसंगतीच्या मदतीने हे प्रश्न सोडविता येतात. म्हणूनच विशेषत: ज्या विद्यार्थ्यांना गणिती कौशल्यावर आधारित प्रश्न प्रकारांबद्दल फारशी खात्री वाटत नाही त्यांनी ताíकक अनुमान आणि विश्लेषणात्मक चाचणी या घटकाचा जास्त गांभीर्याने विचार करावा. (उत्तरार्ध)
