25 April 2019

News Flash

कुतूहल : युक्लिडची प्रतिभा

युक्लिडच्या सिद्धांतांचा आढावा घेताना त्याच्या काही सरळसाध्या सिद्धांतांचा निर्देशही गरजेचा आहे.

(संग्रहित छायाचित्र)

माणिक टेंबे

युक्लिडच्या सिद्धांतांचा आढावा घेताना त्याच्या काही सरळसाध्या सिद्धांतांचा निर्देशही गरजेचा आहे. त्यातलाच एक सिद्धांत म्हणजे ‘त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज तिसऱ्या बाजूहून मोठी असते.’ हा सिद्धांत युक्लिडच्या एलिमेंट्स या प्रसिद्ध ग्रंथाच्या पहिल्या खंडात आहे. खरे तर हे विधान इतके साधे आणि अंगवळणी पडलेले आहे की, एखादी गाय ‘अ’ या ठिकाणी असेल व  ‘ब’ या ठिकाणी तिच्यासाठी चारा ठेवला असेल, तरी तीसुद्धा ‘अब’ या सरळ रेषेतच प्रवास करेल. प्रथम ‘अक’ आणि नंतर  ‘कब’ असा प्रवास ती करणार नाही. अशा स्वयंसिद्ध विधानांची सिद्धता देण्याचा खटाटोप कशाला, असा काही गणितज्ञांचा आक्षेप होता. परंतु गृहीतकांवर आधारित गणिती शाखेची मांडणी करताना गृहीतके सोडल्यास इतर कुठलेच विधान सिद्धतेशिवाय मान्य करता येत नाही. त्यामुळे या सोप्या विधानाचीही युक्लिडने तर्कशास्त्रीय सिद्धता दिली.

घनफळ – क्षेत्रफळाच्या सूत्रांना व्यावहारिक महत्त्व होते. सरळ रेषांच्या बहुभुजाकृतींच्या (पॉलिगॉन) क्षेत्रफळाची सूत्रे शोधणे सोपे होते. पण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र हा गणिती वाटचालीतला महत्त्वाचा टप्पा होता. ‘दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर त्यांच्या त्रिज्यांच्या वर्गाच्या गुणोत्तराइतके असते’ या महत्त्वाच्या विधानाची सिद्धता युक्लिडने एलिमेंट्सच्या बाराव्या खंडात दिली आहे. द्विमितीय भूमितीबरोबरच त्रिमितीय भूमितीच्याही सिद्धता त्याने दिल्या आहेत. त्यात ‘पाच आणि पाचच नियमित पृष्ठाकार (रेग्युलर पॉलिह्रेडॉन) अस्तित्वात आहेत,’ यासारख्या महत्त्वाच्या सिद्धता युक्लिडने मांडल्या आहेत. ‘समान उंची व त्रिज्या असणारे शंकू (कोन) व दंडगोल (सिलिंडर) घेतल्यास, दंडगोलाचे घनफळ कोनाच्या तिप्पट असते’ अशा सिद्धांतांचाही त्यांत समावेश आहे.

एलिमेंट्सचे सात ते दहा हे खंड अंकगणितावरचे आहेत. पूर्णाकांना देव मानणाऱ्या ग्रीक संस्कृतीत अविभाज्य संख्या, संयुक्त संख्या, संपूर्ण संख्या, बहुभुजाकृती संख्या, इत्यादींवर संशोधन झाले होते. अविभाज्य संख्यांच्या (प्राइम नंबर) अनंतत्त्वाची युक्लिडची सिद्धता हे तर्कशास्त्राच्या भाषेत लिहिलेले सुंदर काव्यच असल्याचे अनेक गणितज्ञांचे मत आहे. ‘एकाहून मोठी प्रत्येक संख्या अविभाज्य संख्यांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात लिहिता येते’, या अंकगणितातील मूलभूत विधानाची सिद्धताही युक्लिडने दिली आहे. तेवीसशेहून अधिक वर्षे आपण या सिद्धता मूळ रूपात शिकत आहोत, यातच युक्लिडच्या सिद्धांतांचे माहात्म्य दिसून येते.

मराठी विज्ञान परिषद,

वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२

office@mavipamumbai.org

First Published on February 6, 2019 1:10 am

Web Title: article about euclids theories