मागील लेखांमध्ये ओळख झालेल्या क्ष + iय या स्वरूपाच्या संमिश्र (कॉम्प्लेक्स) संख्यांबद्दल अधिक जाणून घेऊ. अशा संख्येचे वास्तव आणि काल्पनिक असे दोन भाग असल्यामुळे वास्तव संख्येच्या रेषेवर ती दाखवणारे शक्य नाही. तेव्हा र्आगड नावाच्या गणितज्ञाने संमिश्र संख्या द्विमितीय प्रतलावर निर्देशांक पद्धतीने दर्शवण्याची व्यवस्था मांडली. म्हणून संमिश्र संख्यांना ‘र्आगड प्रतिरूपण’ (रिप्रेझेंटेशन) असे म्हणतात. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्यांना क्ष + i य किंवा (क्ष, य) असे लिहू शकतो. इथे क्ष वास्तव अक्षावरील आणि य कल्पित अक्षावरील संख्या असते. आरंभबिंदूपासूनच्या त्या संख्येच्या अंतराला मापांक (झ = क्ष + iय = Öक्ष२ + य२) आणि धन वास्तव अक्षाशी तिचा जो कोन होतो त्याला ‘कोनांक’ (०) असे म्हणतात. अ + iब आणि क + ड्र यांची बेरीज (अ + क) + i(ब + ड), तर गुणाकार (अक - बड) + i(अड + बक) अशा व्याख्या केल्या जातात. उदाहरणार्थ- (२ + ३i) + (१ + २i) = ३ + ५i आणि (२ + ३i) + (१ + २i) = -४ + ७i. बेरीज आणि गुणाकार क्रिया करून मिळणाऱ्या संख्या पुन्हा संमिश्र संख्या असतात. मात्र, वास्तव संख्यांसारखी दोन संमिश्र संख्यांमध्ये तुलना करता येत नाही. उदाहरणार्थ, आपण २ ही संख्या ३ पेक्षा लहान (२ < ३) असे लिहू शकतो. पण २ + ३i व १ - २i यांची अशी तुलना करता येत नाही. ऑयलरने ध्रुवीय (पोलर) निर्देशक पद्धती वापरून संमिश्र संख्या लिहिल्या. त्यासाठी त्याने = eiq = cosq + i sinq या समीकरणाचा वापर केला. या समीकरणात ० ची किंमत p घेतल्यास eip + १ = ० असे सुंदर गणिती सूत्र मिळते. ऑयलर, गाऊस, कोशी, रिमान यांनी संमिश्र संख्या विश्लेषण (कॉम्प्लेक्स अ‍ॅनेलेसिस) ही शाखा विकसित केली. एकेकाळी ज्यांचा वास्तवात काहीच उपयोग नाही म्हणून कल्पित संख्या असे नकारात्मक नाव पडलेल्या या संख्यांचा पुढे अनेक क्षेत्रांत उपयोग होऊ लागला. गणिताच्या विविध शाखांशिवाय संमिश्र संख्यांचे विश्लेषण विद्युतशास्त्रात वाहकातून वाहणारी विद्युत् धाव व त्याच्या दोन टोकांमधील विभवान्तर दर्शवण्यासाठी अत्यंत उपयुक्त ठरते. विद्युत् धारेचे इतर नियम, विद्युत् क्षेत्राचे बल तसेच चुंबकीय क्षेत्राचे बल संमिश्र संख्यांच्या बेरजेच्या व गुणाकाराच्या मदतीने मांडता येतात. म्हणजेच अमूर्त अशा संमिश्र संख्या वास्तव जगाशी जोडलेल्या आहेत. - प्रा. अनुश्री तांबे मराठी विज्ञान परिषद संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org ‘मित्र संख्या’ या ९ फेब्रुवारी रोजी प्रसिद्ध झालेल्या लेखात चौथ्या परिच्छेदातील शेवटचे वाक्य असे हवे : ‘म्हणजे या समूहातील एक संख्या निवडली तर त्या संख्येच्या ती संख्या सोडूनच्या विभाजकांची बेरीज उर्वरित संख्यांच्या बेरजेइतकी असते.’
