26 February 2021

News Flash

कुतूहल : रचनीय संख्या

पूर्णाकांच्या मर्यादित प्रमाणातील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि वर्गमूळांच्या स्वरूपात लिहिता येते ती रचनीय संख्या होय.

(संग्रहित छायाचित्र)

प्रत्येक वास्तव संख्या संख्यारेषेवरचा एक बिंदू निर्देशित करते. या वास्तव संख्यांपैकी ज्या संख्या संख्यारेषेवर केवळ अंतराच्या खुणा नसलेली सरळ पट्टी आणि कंपास (वर्तुळ काढण्याचे साधन) यांचाच वापर करून दाखवता येतात, त्यांना रचनीय (कन्स्ट्रक्टिबल) संख्या म्हणतात.

सुमारे २५०० वर्षांपूर्वी ग्रीक गणितज्ञ भौमितिक रचनांसाठी सरळ रेषा अथवा वर्तुळ काढण्यासाठी ताणलेल्या दोरीचा वापर करत. त्या काळी अंकांच्या खुणा असलेल्या मोजपट्टय़ा उपलब्ध नव्हत्या. त्यामुळे खुणा नसलेली पट्टी आणि कंपास वापरूनच भौमितिक रचना करण्याचे आव्हान त्यांच्यासमोर होते. हे नियम पाळून काही भौमितिक रचना जरी सहज करता आल्या तरी दिलेल्या कोनाचे तीन समान भाग करणे, दिलेल्या घनाच्या घनफळाच्या दुप्पट घनफळाचा घन बनवणे, दिलेल्या वर्तुळाइतक्याच क्षेत्रफळाचा चौरस बनवणे या समस्या ते सोडवू शकले नाहीत. या समस्यांतूनच रन देकार्त यांनी १६३७ साली रचनीय संख्यांची बीजगणितीय व्याख्या दिली. ती अशी आहे, जी संख्या

पूर्णाकांच्या मर्यादित प्रमाणातील बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार आणि वर्गमूळांच्या स्वरूपात लिहिता येते ती रचनीय संख्या होय. संख्यारेषेवरचा एक बिंदू ‘०’ (शून्य) म्हणून निश्चित करून त्याच्या उजवीकडे ‘१’ निश्चित केला जातो. ‘एक’ एकक अंतराचा उपयोग करून संख्यारेषेवर सर्व पूर्णाकांची रचना पट्टी आणि कंपासने करता येते. शून्येतर पूर्णाकांच्या गुणाकार भागाकाराने मिळणाऱ्या संख्याही समरूप त्रिकोणांच्या गुणधर्माचा वापर करून पट्टी आणि कंपासने दाखवता येतात. म्हणून सर्व परिमेय संख्या रचनीय आहेत. तसेच काही अपरिमेय संख्याही रचनीय आहेत. उदाहरणार्थ दोन बाजू प्रत्येकी १ एकक असणारा काटकोन त्रिकोण काढल्यास पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी Ö२ असते. तेवढय़ा लांबीचा रेषाखंड संख्या-रेषेवर काढल्यास Ö२ ही संख्या मिळते. मात्र दोनचे घनमूळ ही संख्या रचनीय नाही. Ö१+Ö[२+

Ö२(३+ Ö४)] या संख्येची रचना सोबतच्या आकृतीत  दाखवली आहे.

दोन शून्येतर रचनीय संख्यांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, धन रचनीय संख्यांची वर्गमुळे या संख्याही रचनीय संख्या आहेत. रचनीय संख्यांचा संच बैजिक संख्यांच्या संचाचा उपसंच (सबसेट) आहे. अविभाज्य संख्यांची घनमुळे, तसेच स्र्ी सारख्या बीजातीत (ट्रान्सेंडेंटल) संख्या मात्र रचनीय नाहीत. ज्या व्यामिश्र (कॉम्प्लेक्स) संख्यांचे वास्तव आणि काल्पनिक भाग रचनीय आहेत, त्या व्यामिश्र संख्याही रचनीय असतात.

– मुग्धा महेश पोखरणकर

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on February 16, 2021 12:07 am

Web Title: article on constructive number abn 97
Next Stories
1 कुतूहल : वास्तव संख्या
2 नवदेशांचा उदयास्त : युगांडात ब्रिटिशांचा प्रवेश…
3 नवदेशांचा उदयास्त : युगांडा.. ‘द पर्ल ऑफ आफ्रिका’!
Just Now!
X