News Flash

कुतूहल : ऑयलरचे कोडे

ऑयलर यांचे गणितविषयक लेखन अनेक नवीन संकल्पनांवर प्रकाश टाकणारे होते.

(संग्रहित छायाचित्र)

ऑयलर यांचे गणितविषयक लेखन अनेक नवीन संकल्पनांवर प्रकाश टाकणारे होते. पण गणिताचे प्राथमिक धडे घेणाऱ्या विद्यार्थ्यांसाठी त्यांनी लिहिलेले ‘एलिमेंट्स ऑफ अल्जिब्रा’ हे पुस्तक ते उत्तम शिक्षकसुद्धा होते याचा प्रत्यय देते. मूळ जर्मन भाषेत १७७० मध्ये प्रसिद्ध झालेल्या या पुस्तकाची पुढे फ्रेंच, रशियन, इंग्लिश इत्यादी भाषांमध्ये भाषांतरे झाली. या पुस्तकात बीजगणितातील बरेच मूलभूत विषय सुबोधपणे विशद करून सरावासाठी प्रश्नही दिले आहेत. याच पुस्तकातील पुढील प्रश्न ‘ऑयलरचे कोडे’ म्हणून प्रसिद्ध आहे.

‘‘दोन महिलांनी बाजारात विक्रीसाठी एकूण १०० अंडी आणली आणि ती सर्व विकली गेली. दोघींकडील अंड्यांची संख्या समान नव्हती, पण विक्रीची रक्कम दोघींना सारखी मिळाली. साहजिकच दोघींमध्ये नंतर चर्चा झाली, तेव्हा पहिली स्त्री दुसरीस म्हणाली, ‘जर माझ्याकडे तुझ्याजवळ होती तेवढी अंडी असती तर मला १५ पेन्स मिळाले असते.’ दुसरी उद्गारली, ‘जर माझ्याकडे तुझ्याकडील अंड्यांइतकी अंडी असती तर मला २०/३ इतके पेन्स मिळाले असते.’ तर प्रत्येकीजवळ किती अंडी होती?’’ (पेन्स हे ब्रिटिश चलन )

दोघींकडील अंडी अनुक्रमे क्ष आणि (१०० -क्ष) मानल्यास अदलाबदल केल्यावर त्यांनी अनुक्रमे [१५ म् (१०० – क्ष)] आणि [२० म् ३क्ष] दराने अंडी विकली असती. यावरून प्रत्येकीस प्रत्यक्षात मिळालेल्या समान रकमेच्या आधारे क्ष२+१६०क्ष – ८००० = ० हे वर्गसमीकरण मिळते आणि ‘क्ष’ची किंमत ४० येते. त्यावरून ‘पहिल्या महिलेकडे ४० अंडी व दुसरीकडे ६० अंडी आणि प्रत्येकीला १० पेन्स मिळाले’ असे उत्तर येते.

गुणोत्तराचा उपयोग करून वेगळ्या पद्धतीनेही हे कोडे सोडवता येते. असे मानू की, दुसऱ्या महिलेकडे पहिल्या महिलेच्या ‘क’ पट अंडी होती. दोघींनाही समान रक्कम मिळाली, म्हणजेच पहिलीने तिच्याकडील अंडी दुसरीच्या दराच्या ‘क’ पटीने ती विकली. विक्रीपूर्वी जर त्यांनी आपल्याकडील अंड्यांची अदलाबदल केली असती तर पहिलीजवळ दुसरीकडील अंड्यांच्या ‘क’ पट अंडी आली असती; जी तिने ‘क’ पट दराने विकली असती. अर्थातच तिला दुसरीच्या क२ पट पेन्स मिळाले असते. यावरून समीकरण मिळते की, क२ गुणिले २०/३ = १५, आणि म्हणून क = ३/२. आता १०० या संख्येची २:३ या गुणोत्तरात विभागणी केल्यास ४०:६० असे उत्तर मिळते.

यावरून विद्यार्थ्यांना समजेल की, गणिते सोडवण्यासाठी विविध तर्कशुद्ध रीतींचा उपयोग होत असतो. महत्त्वाचे म्हणजे प्रश्नाच्या उकलीसाठी एकाहून अधिक गणिती पद्धती उपलब्ध असल्यास त्यांची व्यामिश्रतेच्या दृष्टीने (कॉम्प्लेक्सिटी ऑफ अल्गोरिदम्स) तुलना करणे संगणकशास्त्रात कळीचे मानले जाते.

– डॉ. मेधा लिमये

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on April 21, 2021 12:13 am

Web Title: article on euler puzzle abn 97
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : सेशल्स : फ्रेंचांकडून ब्रिटिशांकडे
2 कुतूहल : सात पुलांची गोष्ट
3 नवदेशांचा उदयास्त : सेशल्स द्वीपसमूह
Just Now!
X