News Flash

कुतूहल : ऑयलरची अद्भुत रेषा

त्रिकोण ही कमीत कमी रेषांनी तयार होणारी बहुभुजाकृती!

(संग्रहित छायाचित्र)

त्रिकोण ही कमीत कमी रेषांनी तयार होणारी बहुभुजाकृती! मात्र या साध्याशा त्रिकोणाचा किती विविध प्रकारे अभ्यास करतात, त्याचे किती गुणधर्म आहेत हे लक्षात येण्यासाठी, त्रिकोणाच्या ४० हजारांहून अधिक विविध केंद्रबिंदूंवर गणितज्ञ संशोधन करत आहेत याची नोंद घेणे पुरेसे आहे! त्यांपैकी तीन महत्त्वाच्या केंद्रबिंदूंची दिलेल्या आकृतीच्या आधारे थोडक्यात ओळख करून घेऊ.

‘त्रिकोण अबक’मध्ये प्रत्येक शिरोबिंदू आणि त्यासमोरील बाजूचा मध्यबिंदू यांना जोडणारी रेषा म्हणजे ‘मध्यगा’ आणि अशा तीन मध्यगांचा (अड, बए, कफ) छेदनबिंदू (म) म्हणजे ‘मध्यगासंपात’ किंवा ‘गुरुत्वमध्य (सेण्ट्रॉइड)’! शिरोबिंदूवरून त्यासमोरील बाजूवर काढलेला लंब म्हणजे ‘शिरोलंब’ आणि तीन शिरोलंबांचा (अग, बह, कइ) छेदनबिंदू (ल) ‘लंबसंपात (ऑर्थोसेंटर)’ आहे. ‘लंबदुभाजक’ म्हणजे त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजूच्या मध्यबिंदूतून जाणारी आणि तिला लंब असणारी रेषा. आकृतीत त्यांचा छेदनबिंदू (प) ‘परिकेंद्र (सर्कमसेंटर)’ आहे.

सन १७६५ मध्ये लिओनार्ड ऑयलर यांनी एक महत्त्वाचे प्रमेय सिद्ध केले : ‘कोणत्याही त्रिकोणात लंबसंपात, मध्यगासंपात आणि परिकेंद्र हे एकरेषीय बिंदू असतात.’ जसे इथे- म, ल, आणि प हे बिंदू एकाच रेषेवर आहेत. समभुज त्रिकोणात हे तीन बिंदू अभिन्न असतात. पण अन्य त्रिकोणांत या तीन बिंदूंतून जाणारी एकमेव रेषा मिळते, जिला ऑयलर यांच्या सन्मानार्थ ‘ऑयलरची रेषा’ म्हणतात. काटकोन त्रिकोणात काटकोनाचा शिरोबिंदूच लंबसंपात आणि कर्णाचा मध्यबिंदू हा परिकेंद्र असल्याने त्यात ऑयलरची रेषा म्हणजे कर्णावर काढलेली मध्यगा, तर समद्विभुज त्रिकोणात ऑयलरची रेषा सममिती अक्ष असते.

वर उल्लेखिलेल्या तीन केंद्रांशिवाय अनेक केंद्रे या ऑयलर रेषेवर असतात. तरी विशेष म्हणजे समद्विभुज त्रिकोण सोडल्यास अन्य त्रिकोणांत ‘आंतरकेंद्र (कोनदुभाजकांचा छेदनबिंदू- इनसेंटर)’ हे ऑयलर रेषेवर नसते! ऑयलर रेषेचे वैशिष्ट्य असे की, त्रिकोण कोणताही घेतला तरी ऑयलर रेषेवर लंबसंपात (ल) आणि परिकेंद्र (प) यांच्या दरम्यानच मध्यगासंपात (म) असतो आणि लंबसंपातापासून मध्यगासंपाताचे अंतर व मध्यगासंपातापासून परिकेंद्राचे अंतर यांचे गुणोत्तर नेहमी स्थिर, म्हणजे २:१ असते. म्हणजेच लांबी(लम) = २ ७ लांबी(मप).

ऑयलरच्या रेषेचा महत्त्वाचा उपयोग म्हणजे तिच्याद्वारे मध्यगासंपात, लंबसंपात, परिकेंद्र यांपैकी कोणत्याही दोन बिंदूंच्या स्थानावरून उर्वरित बिंदूंचे स्थान मिळवता येते. त्यामुळे भूमितीतील अगदी सामान्य प्रश्नांपासून ते अनेक शतके अनुत्तरित असलेल्या प्रश्नांपर्यंत महत्त्वाची भूमिका बजावत राहिलेली आहे ही ऑयलरची अद्भुत रेषा आता चौकोन, षटकोन, चतुष्फलक (टेट्राहेड्रॉन) अशा आकृतींसाठीही विस्तारली जात आहे.

– मुग्धा महेश पोखरणकर

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on April 16, 2021 12:01 am

Web Title: article on euler wonderful line abn 97
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : सिएरा लिओनचे रक्तहिरे…
2 कुतूहल : प्रतिभावंत गणिती ऑयलर
3 कुतूहल : ग्रहणाचे गहन गणित
Just Now!
X