सामान्यत: समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त चल असलेली समीकरणे अनिर्धार्य (इनडिटरमिनेट) असतात. ती सोडविण्याच्या पद्धतीला प्राचीन भारतीय गणितज्ञ ‘कुट्टक’ म्हणजे चूर्ण करण्याची क्रिया (पल्वरायझर) म्हणत. खगोलशास्त्रातील अक्ष + क = बय या समीकरणातील मोठमोठे आकडे असलेले अ, ब, क हे सहगुणक लहान करण्यासाठी ही प्रक्रिया शोधली गेली. कुट्टकात ‘अ’, ‘ब’ आणि ‘क’ हे ज्ञात, तर ‘क्ष’ आणि ‘य’ हे अज्ञात पूर्णांक असतात. उत्तर पूर्णांकी येण्यासाठी ‘अ’ आणि ‘ब’ यांच्या म. सा. वि.ने ‘क’ला नि:शेष भाग जायला हवा. या पद्धतीने सोडवलेले एक उदाहरण पाहू. ‘केळ्यांच्या समान संख्येच्या ६३ ढिगांमध्ये ७ केळी मिळवली आणि २३ प्रवाशांमध्ये समान वाटली तेव्हा एकही केळे उरले नाही. तर प्रत्येक ढिगात किती केळी होती?’ (गणितसारसंग्रह, महावीराचार्य) येथे ६३क्ष + ७ = २३य हे समीकरण सोडविण्यासाठी म. सा. वि. काढण्याच्या भागाकार पद्धतीप्रमाणे १ बाकी येईपर्यंत भागाकार करावयाचे. यात २, १, २, १ ही भागाकारांची वल्ली (वेल). वल्लीच्या खाली क = ७ ही संख्या व त्याखाली शून्य लिहावे. नंतर शेवटून क्रमाने दोन संख्यांच्या गुणाकारात खालची संख्या मिळवून वरवर गेल्यास ७, २१, २८, ७७ ही उत्तरे येतात. (आकृतीतील शेवटचा स्तंभ) यापैकी ७७ ला ६३ ने भागून येणारी बाकी १४ ही य ची आणि २८ ला २३ ने भागून येणारी बाकी ५ ही क्ष ची किंमत. म्हणून प्रत्येक ढिगात कमीत कमी ५ केळी हे उत्तर. अन्य उत्तरे ५ मध्ये २३ मिळवून येणाऱ्या क्रमिकेतील २८, ५१, ७४. असतील. या कोड्यात वल्लीतील संख्या चार म्हणजे सम आहेत. पण त्या विषम असतील असे कोडे भास्कराचार्यांच्या ‘लीलावती’त आहे. ‘ज्या पूर्णांकास ६० ने गुणून त्यात १६ मिळवले आणि १३ ने भागले तर बाकी शून्य राहील असा पूर्णांक सांगा.’ येथे ६०क्ष + १६ = १३य. या कोड्यात वल्ली ५ संख्यांची येते. अशा वेळी वरील पद्धतीने आलेल्या ८ व २ या किमती भाज्य (६०) आणि भाजक (१३) यातून वजा कराव्या. म्हणजे क्ष = ११ व य = ५२ अशी उत्तरे मिळतात. अन्य उकली क्ष च्या किमतीत १३ मिळवून येणाऱ्या २४, ३७, ५०. असतील. क ची किंमत ऋण असलेल्या ६०क्ष -१६ = १३य या समीकरणाचे उत्तरही थोड्या बदलांनी काढता येते. कोड्याची काठिण्यपातळी वाढवली की बौद्धिक व्यायाम घडतो. या रीतींचे गणिती तर्क समजून घेणे हेही वेगळे आव्हान आहे! - निशा पाटील मराठी विज्ञान परिषद, संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org
