News Flash

कुतूहल : मूळ संख्यांचे प्रमेय

गणितात प्रमेय आणि सिद्धता यांचे महत्त्व असाधारण आहे. असे अंकशास्त्रातील एक प्रमेय समजून घेऊ.

(संग्रहित छायाचित्र)

 

गणितात प्रमेय आणि सिद्धता यांचे महत्त्व असाधारण आहे. असे अंकशास्त्रातील एक प्रमेय समजून घेऊ. २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, … या मूळ (अविभाज्य) संख्या आहेत, कारण त्यांना केवळ १ आणि ती संख्या यांनीच पूर्ण भाग जातो. १ ही संख्या मात्र मूळ संख्या (प्राइम नंबर) मानली जात नाही. नैसर्गिक संख्यांच्या संचात मूळ संख्यांच्या उपलब्धीचे किंवा उपस्थितीचे जे वैशिष्ट्य आहे, ते ‘मूळ संख्यांचे प्रमेय’ या प्रमेयात वर्णिलेले आहे. ते पाहण्याआधी आपण काही सोपी निरीक्षणे नोंदवू.

पहिल्या दहा नैसर्गिक संख्यांमध्ये चार संख्या (२, ३, ५, ७) मूळ संख्या आहेत, तर १ ते १०० मध्ये २५, १ ते १,००० मध्ये १६८, तर १ ते १०,००० मध्ये अवघ्या १२२९ मूळ संख्या आहेत. ही निरीक्षणे- p(१०) = ४, p(१००) = २५, p(१०००) = १६८, p(१००००) = १२२९… अशी लिहिली जातात. (मात्र, यातील p या चिन्हाचा वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाशी काहीही संबंध नाही.)

अर्थात, १ पासून ‘न’ या नैसर्गिक संख्येपर्यंतचे संच विचारात घेतले तर जसजशी ‘न’ची किंमत वाढते आहे, तसतशी त्या- त्या संचात मूळ संख्यांची उपलब्धता कमी होताना दिसते आहे. या निरीक्षणाचे तर्ककठोर गणिती सैद्धांतिक रूप म्हणजेच ‘मूळ संख्यांचे प्रमेय’ होय. फ्रेंच गणिती जॅक्वीस हॅडामार्ड (१८६५-१९६३) आणि बेल्जियन गणिती चाल्र्स जॉन डी ला व्हॅल्ली पॉस्सिन (१८६६-१९६२) या दोघांनी स्वतंत्रपणे सदर प्रमेय सर्वप्रथम इ. स. १८९६ मध्ये सिद्ध केले.

प्रस्तुत प्रमेयानुसार, ‘p(न)’च्या किमतीसाठी ‘न भागिले लॉग(न)’ ही किंमत ‘आसन्न (अ‍ॅप्रोक्झिमेट) किंमत’ म्हणून धरता येऊ शकते. म्हणजे ‘p(न)’ला ‘न/लॉग(न)’ने भागले तर ‘न’च्या वाढत्या किमतीनुसार हा भागाकार १ च्या जवळ जाऊ लागेल. हे कसे होते, ते दिलेल्या सारणीवरून स्पष्ट होईल.

गणिती भाषेत हे प्रमेय ‘‘p(न) प्त न/लॉग(न)’’ अशा प्रकारे लिहितात. धनसंख्यांचा ‘लॉगॅरिदम’ हा अनेकांना परिचित असला तरी या प्रमेयात दिसणाऱ्या लॉगॅरिदमचा पाया १० नसून ही संख्या आहे आणि त्या संख्येची आसन्न किंमत २.७१८२८१८ इतकी असते.

प्रस्तुत प्रमेयाची सिद्धता समजावयास कठीण असल्याने लेखातील सारणीत फक्त ‘न’च्या वेगवेगळ्या किमतींसाठी ‘p(न) म्  [न/लॉग(न)]’च्या किमती काढून त्या कमी कमी होत १ च्या जवळ जात असल्याचे दाखवून प्रमेयाचा पडताळा घेतला आहे. या प्रमेयाचा उपयोग गणिताच्या अनेक शाखांत होतो.

– प्रा. सलिल सावरकर

मराठी विज्ञान परिषद

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on March 24, 2021 12:07 am

Web Title: article on theorems of prime numbers abn 97
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : मादागास्करवर फ्रेंचांचा ताबा
2 कुतूहल : बहुआयामी गणिती लाप्लास
3 नवदेशांचा उदयास्त : मादागास्कर : राणीच्या कारभाराच्या स्मृती
Just Now!
X