प्राचीन ग्रीक गणितज्ञांच्या मांदियाळीतील युक्लिडचे नाव ऐकले नाही असे सांगणारा/री क्वचितच आढळेल. युक्लिडचे सुविख्यात कार्य म्हणजे ‘एलिमेंट्स’ हा तर्कशुद्ध मांडणी असलेला १३ खंडांचा ग्रंथ. यात भूमितीचे विवेचन प्रामुख्याने असले, तरी सात ते नऊ या खंडांतील अंकशास्त्रही (नंबर थिअरी) लक्षणीय आहे.
‘‘१ या अंकामुळे जगात सगळ्या गोष्टी साकार होतात,’’ असे विधान करून युक्लिडने एक या अंकाचे माहात्म्य दर्शविले. १ पेक्षा मोठय़ा धन पूर्णाक संख्यांचे गुणधर्म, सम, विषम, अविभाज्य, संयुक्त संख्यांच्या व्याख्या, युक्लिडियन रीत (अल्गोरिदम) वापरून महत्तम साधारण विभाजक (म.सा.वि.) आणि लघुतम साधारण विभाज्य (ल.सा.वि.) काढायच्या पद्धती.. असे महत्त्वाचे विषय ‘एलिमेंट्स’मधील अंकशास्त्रात येतात. यातील उल्लेखनीय आहे ते अंकगणिताचे मूलभूत प्रमेय! याचे विधान असे : ‘एकपेक्षा मोठी प्रत्येक विभाज्य संख्या मूळ संख्यांच्या गुणाकार स्वरूपात एकमेव पद्धतीने लिहिता येते.’ उदाहरणार्थ, ३० = २ x ३ x ५. युक्लिडने साहाय्यक प्रमेयही (लेमा) मांडले की, ‘एखाद्या मूळसंख्येने दोन पूर्णाक संख्यांच्या ‘अ ७ ब’ या गुणाकारास नि:शेष भाग जात असल्यास, त्या मूळ संख्येने ‘अ’ आणि ‘ब’ यांपैकी किमान एका संख्येला नि:शेष भाग जातो.’ उदाहरणार्थ अ = २७ आणि ब = ४, तर अ x ब = २७ x ४ = १०८. येथे ३ ही मूळ संख्या १०८ या गुणाकाराला आणि २७ ला म्हणजे ‘अ’लादेखील विभागते.
‘अविभाज्य संख्या किंवा मूळ संख्या (प्राइम नंबर्स) अनंत आहेत’ हे प्रमेय आणि युक्लिडने त्याची दिलेली सिद्धता यांत एक आगळे सौंदर्य आहे. मूळ संख्यांचा मर्यादित संच घेऊन त्या संचातील सर्व संख्यांचा गुणाकार करून येणाऱ्या संख्येत १मिळवल्यास येणारी संख्या ही सुरुवातीच्या संचात नसणारी नवीन मूळ संख्या असते किंवा तिला सुरुवातीच्या संचात नसलेल्या एखाद्या मूळ संख्येने भाग जातो. या क्रियेची पुनरावृत्ती करून अमर्यादित (अनंत) मूळ संख्यांचा संच मिळतो. उदाहरणार्थ, मूळ संख्या संच अ = २, ३ यावरून (२ x ३) + १ = ७ ही मूळ संख्या येते. मूळ संख्या संच ब = २, ३, ७ यावरून (२ x ३ x ७) + १ = ४३ ही मूळ संख्या येते.
त्रिकोणी संख्या, चौरस संख्या, बहुभुज संख्या अशा संज्ञा संख्यांना देऊन भूमिती आणि अंकशास्त्र यांचे अतूट नाते युक्लिडने दाखवले. ‘एलिमेंट्स’मधील अंकशास्त्रामुळे विविध गणिती शाखांचा पाया रचला गेला.
‘एलिमेंट्स’मधील एक पृष्ठ
– प्रा. स्वाती देवधर
मराठी विज्ञान परिषद,
संकेतस्थळ : www.mavipa.org
ईमेल : office@mavipamumbai.org
लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.
First Published on January 21, 2021 12:48 am
