News Flash

कुतूहल : उल्लेखनीय रॉबिन्स-पंचकोन

रॉबिन्स यांच्या सूत्रानुसार, या पंचकोनाचे क्षेत्रफळ ७,३९२ चौरस एकक इतके येते.

ज्या पंचकोनाच्या सर्व भुजा परिमेय संख्या असतात, क्षेत्रफळही परिमेय असते व ज्याचे पाचही शिरोबिंदू एका वर्तुळावर असतात अशा चक्रीय (सायक्लिक) पंचकोनास रॉबिन्स-पंचकोन म्हणतात. यातील रॉबिन्स म्हणजे डेव्हिड रॉबिन्स (१२ ऑगस्ट १९४२ ते ४ सप्टेंबर २००३) हे अमेरिकी गणिती होते.

रॉबिन्स यांनी चक्रीय पंचकोनाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र शोधून काढले, ज्यात पंचकोनाच्या भुजांच्या लांबीच फक्त विचारात घ्याव्या लागतात. सोबतच्या आकृतीतील ‘अबकड’ हा पंचकोन पाहा. त्याच्या भुजा ७८, ३२, ५०, ६६ आणि १२६ एकक अशा आहेत. हा पंचकोन ६५ त्रिज्या असलेल्या एका वर्तुळात आंतरलिखित केलेला आहे. ‘ब’ आणि ‘क’ या त्याच्या दोन कर्णाची लांबी अनुक्रमे १२० आणि १०४ इतकी आहे. रॉबिन्स यांच्या सूत्रानुसार, या पंचकोनाचे क्षेत्रफळ ७,३९२ चौरस एकक इतके येते. तुम्ही हेरॉनचे सूत्र आकृतीतील तीन त्रिकोणांसाठी वापरून या उत्तराचा पडताळा घ्या. म्हणजे सदर पंचकोन ‘रॉबिन्स-पंचकोन’ आहे हे समजेल.

रॉबिन्स यांचे सूत्र गुंतागुंतीचे असल्यामुळे इथे आपण ते पाहणार नाही. मात्र रॉबिन्स-पंचकोनाचे काही गुणधर्म पाहणार आहोत. चक्रीय पंचकोनावरील रॉबिन्स यांच्या कार्याचा गौरव म्हणूनच उपरिनिर्दिष्ट विशिष्ट पंचकोनास ‘रॉबिन्स-पंचकोन’ हे नाव आर. एच. बुशोल्झ आणि जे. ए. मॅकडुगल या गणितीद्वयीने २००८ मध्ये सुचवले आणि ते सर्वमान्यही झाले.

रॉबिन्स पंचकोनावर बुशोल्झ-मॅकडुगल द्वयीने भरपूर काम केले आहे. त्यातून निघालेल्या निष्कर्षांपैकी एक असा की, जर चक्रीय पंचकोनाच्या सर्व भुजा पूर्णाकात असतील व त्याचे क्षेत्रफळ परिमेय असेल तर ते पूर्णाकीच असते. सर्व भुजा पूर्णाक असलेल्या पंचकोनाची परिमिती पूर्णाकातच असणार हे तर उघड आहे. मात्र या जोडीने असेही दाखवून दिले की, ही परिमिती कायम समपूर्णाक असते. अजून एक निष्कर्ष असा की, एक तर याच्या पाचही कर्णाच्या लांबी परिमेय संख्या असतात, नाही तर एकाही कर्णाची लांबी परिमेय नसते. तसंच, जेव्हा सगळे कर्ण ‘परिमेय-लांबी’चे असतात तेव्हा या पंचकोनाच्या परिवर्तुळाची त्रिज्याही परिमेय लांबीचीच असते.

बुशोल्झ-मॅकडुगल जोडीने असा रॉबिन्स-पंचकोन रेखाटायचा प्रयत्न केला की, ज्याच्या कर्णाची लांबी अपरिमेय असेल. आश्चर्याची गोष्ट  म्हणजे, त्यांना असा पंचकोन रेखाटता आलाच नाही. यावरून त्यांनी अशी अटकळ बांधली की, रॉबिन्स पंचकोनाचे कर्ण बहुधा अपरिमेय असूच शकत नाहीत. ही अटकळ अजून सिद्ध झालेली नाही. गणितज्ञांसाठी ही अटकळ सिद्ध करण्याचे किंवा अपरिमेय लांबीचा कर्ण असलेला रॉबिन्स-पंचकोन रेखाटण्याचे आव्हान आहे. तर करा सुरुवात!

– प्रा. सलील सावरकर , मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on June 9, 2021 1:01 am

Web Title: geometry of pentagons robbins pentagon cyclic polygons zws 70
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : भारतीय ‘गिरमिटियां’चे त्रिनिदाद
2  कुतूहल :  ब्रह्मगुप्तांचा चौकोन
3 नवदेशांचा उदयास्त : ‘न्यू स्पेन’मधील त्रिनिदाद
Just Now!
X