16 February 2019

News Flash

कुतूहल : अनंताची मुळे

प्रत्यक्ष शर्यतीचा विचार केला तर अधिक वेगवान अकिलिस जिंकायलाच हवा.

गणितातल्या नवनवीन शाखा, त्यातली महत्त्वाची प्रमेये, यांच्या विकासाची पाळेमुळे शोधणे हे रंजक आणि उद्बोधक असते. सतराव्या शतकात विकसित झालेल्या कलनशास्त्राची (कॅलक्युलस) आणि एकोणिसाव्या शतकात प्रस्थापित झालेल्या गणिती ‘अनंता’च्या (इन्फिनिटी) शोधाची पाळेमुळे थेट आपल्याला इ.स.पूर्व पाचव्या शतकात होऊन गेलेल्या झेनो या ग्रीक तत्त्ववेत्त्याने मांडलेल्या विरोधाभासांकडे घेऊन जातात. प्रसिद्ध ब्रिटिश गणितज्ञ बटर्रण्ड रसेल यांनी झेनोच्या विरोधाभासांचे ‘अत्यंत सूक्ष्म आणि सखोल विचार मांडणारे विरोधाभास’ असे वर्णन केले आहे. झेनोने मांडलेले एकूण नऊ विरोधाभास आज उपलब्ध आहेत.

‘धावण्याच्या शर्यतीत कमी वेगवान स्पर्धकाने जर थोडेसे पुढून शर्यत सुरू केली, तर वेगवान स्पर्धक कधीच जिंकू शकणार नाही’ झेनोचे हे विधान समजून घेण्यासाठी आपण अकिलिस (ग्रीक पुराणातील महान योद्धा) आणि कासव यांची धावण्याची शर्यत पाहू या. अकिलिस कासवाच्या दहापट अधिक वेगाने धावतो आणि स्पर्धेच्या सुरुवातीला कासव १०० एकके अंतर अकिलिसच्या पुढे आहे, असे गृहीत धरू या. झेनोच्या युक्तिवादानुसार अकिलिसला प्रथम हे १०० एकके अंतर पार करावे लागेल. तेवढय़ा वेळात कासव १० एकके पुढे जाईल. अकिलिसला जेव्हा हे १० एकके अंतर पार करावे लागेल, तेवढय़ा वेळात कासव आणखी १ एकक अंतर पुढे गेलेले असेल. असाच युक्तिवाद वापरत राहिल्यास प्रत्येक वेळी कासवच पुढे असेल. म्हणजेच अकिलिस ही शर्यत कधीच जिंकू शकणार नाही.

प्रत्यक्ष शर्यतीचा विचार केला तर अधिक वेगवान अकिलिस जिंकायलाच हवा. झेनोचा युक्तिवाद अर्थातच चुकीचा आहे; पण झेनोच्या युक्तिवादातील चूक सापडण्यासाठी दोन हजारांहून अधिक वर्षे जावी लागली. सतराव्या शतकात कलनशास्त्रातील अनंत संख्याश्रेणीचा (सीरिज) अभ्यास सुरू झाला आणि या विरोधाभासातील चूक सापडली. झेनोच्या युक्तिवादात कासव जितके अंतर अकिलिसच्या पुढे असेल, ते अंतर १०० + १० + १ + ०.१ + .. अशा अनंत भागांत विभागले आहे; पण अनंत संख्यांची बेरीज नेहमी अनंत असेलच असे नाही. या उदाहरणात ती बेरीज १११.१११.. एकके इतकी भरते. त्यामुळे इतके अंतर धावून होईपर्यंत अकिलिस कासवाच्या मागे असेल व त्यानंतर मात्र तो नक्कीच कासवाच्या पुढे जाईल!

– माणिक टेंबे 

मराठी विज्ञान परिषद, वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२  office@mavipamumbai.org

First Published on February 7, 2019 1:15 am

Web Title: infinity and calculus