यादृच्छिक पद्धतीने काही व्यक्ती निवडल्या असता समान वाढदिवस (एकच दिवस व महिना) असणाऱ्या व्यक्तींची किमान एक जोडी मिळण्याची संभाव्यता किती असेल याला ‘वाढदिवसाचा प्रश्न’ (बर्थडे प्रॉब्लेम) असे म्हटले जाते. या प्रश्नाबाबतचा विचार प्रथम हॅरोल्ड डॅव्हेनपोर्ट (१९२७) यांनी केला असे मानले जाते. या प्रश्नाचे रूपांतर रिचर्ड मिसेस (१९३९) यांनी ‘लहानात लहान संख्या काय असेल की ज्या संख्येएवढ्या व्यक्ती निवडल्यास किमान दोन व्यक्तींचे वाढदिवस समान असण्याची संभाव्यता ५० टक्क्यांहून जास्त असेल’ असे केले. विविक्त (डिस्क्रीट) गणितातील ‘पिजनहोल तत्त्वा’चा उपयोग करून वाढदिवसाच्या प्रश्नाबद्दल सबळ विधान करता येते. जर ‘म’ इतक्या वस्तू ठेवण्यासाठी ‘न’ इतके खोके असतील व ‘म’ ‘न’हून मोठी संख्या असेल तर किमान एका खोक्यात एकपेक्षा जास्त वस्तू असतील. (‘म’ व ‘न’ या नैसर्गिक संख्या आहेत.) अशा प्रकारे पिजनहोल तत्त्व मांडले जाते. त्यावरून ३६७ किंवा त्याहून जास्त व्यक्ती निवडल्या असता समान वाढदिवस असणाऱ्या व्यक्तींची किमान एक जोडी मिळण्याची संभाव्यता १ आहे असे सांगता येईल. कारण सामान्य वर्षात ३६५ आणि लीप वर्षात ३६६ दिवस असल्याने तेवढेच वेगवेगळे वाढदिवस असणे शक्य आहे. ३६५ दिवस वाढदिवस असण्यासाठी समसंभाव्य आहेत असे मानू. ‘न’ व्यक्तींपैकी कोणत्याही दोन व्यक्तींचे वाढदिवस समान ‘नसण्याची’ संभाव्यता प (न) मानू (चौकट पाहा). चौकटीमधील सूत्रानुसार न=२३ साठी संभाव्यता अंदाजे ०.४९३ अशी मिळते. यावरून २३ व्यक्तींपैकी किमान दोन व्यक्तींचे वाढदिवस एकाच दिवशी असण्याची प (२३) ही संभाव्यता [१-०.४९३ ०.५०७] मिळते. म्हणजेच किमान दोन व्यक्तींचे वाढदिवस सारखे असण्याची संभाव्यता ५० टक्क्यांहून अधिक असण्यासाठी किमान २३ व्यक्ती यादृच्छिकपणे निवडल्या पाहिजेत. तुम्ही जमेल तितक्या समारंभांत असा प्रयोग करून बघा. २३ व्यक्तींच्या समूहात तीन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची शक्यता ०.०१३ इतकी कमी असेल असे गणित सांगते. तीन व्यक्तींचा वाढदिवस समान असण्याची संभाव्यता ५० टक्क्यांहून अधिक होण्यासाठी ८८ व्यक्ती यादृच्छिकपणे निवडणे गरजेचे आहे. कोणत्याही दोन व्यक्तींचे वाढदिवस लगतच्या दिवशी (मागे किंवा पुढे) असण्याची संभाव्यता ५, १०, १४ व्यक्तींच्या समूहासाठी अनुक्रमे ०.०८, ०.३१५, ०.५३७ अशा प्रकारे वाढताना दिसते. २०१४ साली बीबीसी न्यूज या माध्यमाने जन्मदिवसाच्या प्रश्नाबाबत पाहणी करताना फुटबॉल वर्ल्ड कपमध्ये सहभागी ३२ संघांमधील प्रत्येकी २३ खेळाडूंच्या जन्मदिवसांवरून असे एकूण संघ शोधण्याचा प्रयत्न केला, ज्यांपैकी प्रत्येक संघामधील दोन खेळाडूंचा जन्मदिवस समान असेल. या पाहणीत १६ संघांनी (३२ च्या ५० टक्के) हा निकष पूर्ण केला. वाढदिवसाचा प्रश्न व त्यातून काढलेले निष्कर्ष क्रिप्टोग्राफिक हॅश फंक्शनच्या अभ्यासात महत्त्वाचे ठरतात. - मुक्ताई मिलिंद देसाई मराठी विज्ञान परिषद, संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org
