News Flash

कुतूहल : डायफॅण्टसची समीकरणे

चलपदांच्या अनेक किमती या दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करण्यास समर्थ असू शकतात.

(संग्रहित छायाचित्र)

डायफॅण्ट्स हा इसवी सनाच्या तिसऱ्या शतकात होऊन गेलेला ‘अ‍ॅरिथमेटिका’ या ग्रंथमालेचे लेखन करणारा ग्रीक गणिती होय. एकापेक्षा जास्त चलपदे असलेले व ज्याची उत्तरे पूर्णांकात असणे आवश्यक असते असे समीकरण ‘डायफॅण्ट्सचे समीकरण’ म्हणून ओळखले जाते. अशी समीकरणे अनिश्चित स्वरूपाची असतात, कारण त्यांची एकच एक उकल नसते. चलपदांच्या अनेक किमती या दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करण्यास समर्थ असू शकतात. उदाहरणार्थ, ५क्ष-२य= ५४ हे समीकरण. प्रस्तुत समीकरणात क्ष = १२, य = ३ ही एक उकल संभवते, तसेच क्ष = १८,

य = १८ किंवा क्ष = १००, य = २२३ या उकलीदेखील शक्य आहेत. त्याउलट एखाद्या समीकरणाला पूर्णांकात उकलच नसणे असाही प्रकार घडू शकतो. वरील समीकरणात बदल करून

६क्ष – २य = ५५ हे समीकरण विचारात घेतले तर त्याची उकल पूर्णांकात मिळतच नाही (वाचकांनी प्रयत्न करून पाहावा). म्हणजेच दिलेल्या अनिश्चित समीकरणासाठी उकलींची संख्या ‘एकाहून जास्त’ वा ‘एकही नाही’ अशी असू शकते. समीकरणातील चलपदांची संख्या दोनपेक्षा जास्त असेल तर अशी समीकरणे सोडवणे हे आव्हानात्मक ठरते.

आपल्याकडे इसवी सनाच्या पाचव्या शतकापासून आर्यभट, ब्रह्मगुप्त, भास्कराचार्य यांच्या ग्रंथांतून अशी अनिश्चित किंवा अनिर्धार्य (इनडिटर्मिनेट) समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती दिलेल्या आढळतात. ‘कुट्टक’ ही संज्ञा दिलेली अशी गणिते सोडवून दाखवणे हे प्रगल्भ बुद्धीचे लक्षण मानले जाई. या संदर्भात संस्कृत श्लोकही प्रचलित होता…‘जनसंसदि दैवविदां तेजो नाशयति भानुरिव भासाम्। कुट्टाकारप्रश्नै: पठितै: किं पुन: शतश:॥’ म्हणजे, ‘ज्याप्रमाणे अनेक तारकांचे तेज सूर्य पूर्णपणे नाहीसे करतो, त्याप्रमाणे एखादा

कुट्टकाधारित प्रश्नही विद्वानांचे (बुद्धिरूपी) तेज विद्वत्सभेत नाहीसे करतो.’

अशा अनिश्चित समीकरणांमध्ये चलपदांचे घातांक एकापेक्षा जास्त असू शकतात. पायथागोरसची त्रिकुटे क्ष२+य२ = झ२ या डायफॅण्टस वर्गसमीकरणाच्या उकली मानता येतात.

अ३+ब३ = क३+ड३ हे डायफॅण्टस-घन समीकरण असून त्याची १०३ + ९३ = १२३ + १३ ही एक उकल आहे. यातील डावी वा उजवी बाजू सोडवून येणारी १७२९ ही संख्या हार्डी-रामानुजन संख्या किंवा टॅक्सी-कॅब संख्या या नावाने विख्यात आहे.

‘क्रिप्टोलॉजी’ (संदेश गूढ करणारा संकेतन सिद्धान्त) या गणितशाखेमध्ये डायफॅण्टसच्या समीकरणांचा उपयोग होतो.

– प्रा. सलिल सावरकर

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on April 6, 2021 12:07 am

Web Title: article on equations of diffants abn 97
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : स्वातंत्र्यानंतरचा अडखळता सोमालिया..
2 कुतूहल : समीकरणांची कोडी
3 नवदेशांचा उदयास्त : सोमालिया इटालियाना
Just Now!
X