कुतूहल : अंक-संवेदनशील मूळसंख्या

ज्या मूळ  संख्येतला कोणताही एक अंक एका वेळी एक या पद्धतीने ० ते ९ यातील एका अंकाने बदलत गेल्यास मिळणारी नवी संख्या (अर्थातच ती संख्या सोडून) संयुक्त (कॉम्पोझिट) असते, अशा मूळ संख्येला अंक-संवेदनशील मूळ संख्या (डिजिटली डेलिकेट प्राईम) असे म्हटले जाते. उदाहरणार्थ, मूळ संख्या ११ ही अंक-संवेदनशील नाही, कारण ११ऐवजी १७ असा बदल केल्यास मूळ संख्या मिळते. सर्वात लहान अंक-संवेदनशील मूळ संख्या २९४००१ आहे. तिच्यातील कुठचाही एक अंक बदलला तर मिळणारी संख्या २९४००१ किंवा संयुक्त असते. प्रत्येक अंक ० ते ९ अंकांनी बदलून बघणे अपेक्षित असल्याने २९४००१ ही संख्यासुद्धा परत येऊ शकते.

१९७८ मध्ये मुरेक्लॅम्कीन यांनी अशा मूळसंख्या अस्तित्वात आहेत का, असा प्रश्न प्रथम उपस्थित केला. महान गणितज्ञ पॉल एरडॉश यांनी अशा अंक-संवेदनशील मूळसंख्या अनंत आहेत आणि फक्त दशमान पद्धतीतच नाही, तर इतर कुठच्याही धन पूर्णाक पाया असलेल्या पद्धतीतही अशा अनंत मूळसंख्या आहेत हे सिद्ध केले. फील्ड्स पदकविजेते टेरेन्स टाओ यांनी २०११ मध्ये अंक-संवेदनशील मूळसंख्यांचे एकंदर मूळसंख्यांमधील गुणोत्तर हे धन (पॉझिटिव्ह) असल्याचे सिद्ध केले. याचाच अर्थ असा की, मूळसंख्या मोठय़ा होत जातील तेव्हाही त्यात अंक-संवेदनशील मूळसंख्या दुर्मीळ नसतील.

या संकल्पनेने प्रभावित होऊन मायकेल फिलसेटा यांनी ‘विस्तृत’ अंक-संवेदनशील मूळसंख्यांची (वाइड डिजिटली डेलिकेट प्राईम) संकल्पना मांडली. संख्येच्या आधी शून्ये जोडली तरी त्यांची किंमत बदलत नाही. म्हणजे ..०००४७ आणि ४७ या संख्या एकच आहेत. अशा अनंत शून्ये जोडलेल्या एखाद्या मूळसंख्येत कुठचाही एक शून्य वा शून्येतर अंक बदलून जर मिळणारी संख्या संयुक्त असेल तर त्या संख्येला विस्तृत अंक-संवेदनशील मूळसंख्या म्हणतात. अशा मूळसंख्या अंक-संवेदनशील मूळसंख्यांहूनही दुर्मीळ आहेत. २९४००१ ही अंक-संवेदनशील मूळसंख्या आहे आणि १०२९४००१ ही संख्याही मूळसंख्या आहे, म्हणजे २९४००१ ही विस्तृत अंक-संवेदनशील मूळसंख्या नाही.

विस्तृत अंक-संवेदनशील मूळसंख्यांचे एकही उदाहरण अजून सापडलेले नाही. परंतु त्या अनंत आहेत आणि एकंदर मूळसंख्यांमध्ये त्यांचे गुणोत्तर धन आहे, हे मात्र फिलसेटा यांनी जे. सौथविकसह नोव्हेंबर २०२०मध्ये सिद्ध केले. असंख्य आश्चर्यकारक गुणधर्म असणाऱ्या मूळसंख्या आणि त्यांची गुपिते शोधणारे गणितज्ञ यांचा लपंडाव शेकडो वर्षे अविरत रंगत राहिला आहे.

– प्रा. माणिक टेंबे

मराठी विज्ञान परिषद

संकेतस्थळ : http://www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org