एका प्रमेयाची कथा…

सुमारे ३५७ वर्षांच्या कालावधीत घडलेली ही फर्माच्या अंतिम प्रमेयाची रोमहर्षक कथा. या कथेचे बीज खरे तर पायथागोरसच्या सुप्रसिद्ध समीकरणातच रुजले होते. अलेक्झांड्रियाच्या डायफण्टस या गणितज्ञांनी दुसऱ्या शतकात लिहिलेल्या ‘अ‍ॅरिथमेटिका’च्या खंडांपैकी काही खंड मध्ययुगात युरोपात झालेल्या संहारातून वाचले. त्यांची लॅटिनमध्ये भाषांतरित झालेली प्रत सतराव्या शतकाच्या सुरुवातीला फ्रान्समधील एका अवलियाच्या हाती पडली आणि या विलक्षण कथेचा प्रवास सुरू झाला…

१६०७ साली फ्रान्समध्ये पिअर द फर्मा यांचा जन्म झाला. कायदेतज्ज्ञ फर्मा फावल्या वेळी गणिती कूटप्रश्न सोडवण्यात आणि प्रमेयाच्या सिद्धता शोधण्यात गुंगून जात असत. गणिताचे कुठलेही औपचारिक शिक्षण नसलेल्या त्यांच्या गणिती कौशल्याला  डायफण्टसच्या ‘अ‍ॅरिथमेटिका’ने खतपाणी घातले. नवनवीन प्रमेये मांडून ती सिद्ध करण्याचा त्यांचा उपद्व्याप फक्त स्वत:च्या समाधानासाठी असे. कलनशास्त्र, विश्लेषणात्मक भूमिती, संभाव्यतेचे गणित या शाखांची पायाभरणी करणारे फर्मा स्वत:चे संशोधन क्वचितच, तेही त्रोटकपणे लिहून ठेवीत. अशी अनेक गणिती विधाने, अटकळी पत्राद्वारे इतरांना पाठवून त्यांना आव्हान देण्याचा खोडसाळपणाही ते करीत असत.

अ२ + ब२ = क२ या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंची किंमत समान देणारी नैसर्गिक संख्यांची त्रिकूटे ही काटकोन त्रिकोणाच्या पूर्णांक बाजू असणारी पायथागोरियन त्रिकूटे आहेत, जशी

की- (३, ४, ५), (५, १२, १३). बहुतेक १६३७ साली, अ२ + ब२ = क२  या समीकरणाच्या पूर्णांकातील उकल असणाऱ्या त्रिकूटांचा अभ्यास करताना त्यांना एक विलक्षण अटकळवजा प्रमेय सुचले. त्यांनी ‘अ‍ॅरिथमेटिका’च्या समासात लिहून ठेवले की, ‘‘अन + बन = कन हे समीकरण, जर ‘न’ हा घात दोनपेक्षा मोठा असेल तर, कुठल्याही नैसर्गिक संख्या ‘अ’, ‘ब’ आणि ‘क’ यांसाठी बरोबर ठरत नाही.’’ त्यापुढे त्यांनी लिहिले की, ‘‘मला या प्रमेयाची एक अफलातून सिद्धता सापडली आहे पण ती लिहिण्यासाठी या समासाची जागा अंमळ लहानच आहे.’’

‘न = ४’साठी या समीकरणाला नैसर्गिक संख्येत उकल नसल्याचे सिद्ध करणारी सुबक सिद्धता फर्मा यांनी स्वत: दिली. हे प्रमेय ‘न’च्या सर्व नैसर्गिक किमतींसाठी मांडून, त्याची सिद्धता ठाऊक असल्याचेही सांगून, पण सिद्धता कुठेही लिहून न ठेवता फर्मा १६६५ साली निवर्तले.

ही अटकळ एकतर सिद्ध करायची किंवा चूक असल्याचे सोदाहरण दाखवून द्यायचे, असे आव्हान पुढे ३५० वर्षे मोठमोठ्या गणितज्ञांना भेडसावेल याची कोणालाच कल्पना नव्हती. … या कथेचा उत्तरार्ध बुधवारच्या अंकात वाचा.

– प्रा. संगीता जोशी   मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : http://www.mavipa.org   

ईमेल : office@mavipamumbai.org