News Flash

कुतूहल : सात पुलांची गोष्ट

एखादे कोडे वा व्यावहारिक प्रश्न अनेकदा गणितात लक्षणीय भर घालू शकतो

(संग्रहित छायाचित्र)

एखादे कोडे वा व्यावहारिक प्रश्न अनेकदा गणितात लक्षणीय भर घालू शकतो. याचे उत्तम उदाहरण म्हणजे कोनिग्झबर्गच्या सात पुलांची समस्या, जिने आलेख सिद्धांत (ग्राफथिअरी) या गणिती शाखेला जन्म दिला!

ही गोष्ट आहे अठराव्या शतकातील कोनिग्झबर्ग या पूर्व प्रशियाच्या (सध्याचे कलिनिन्ग्राड, रशिया) नगरामधली. तिथे वाहणाऱ्या प्रेगेल नदीमुळे नगराचे चार भाग पडत होते. त्यांना जोडण्यासाठी त्या नदीवर सात पूल बांधले गेले होते.  ते चार भूभाग अ, ब, क, ड आणि त्यांना जोडणारे पूल आकृती क्र.१मध्ये दाखवल्याप्रमाणे. कोनिग्झबर्गवासीयांना नगरात फेरफटका मारताना या चारपैकी कोणत्याही एका भूभागावरून सुरुवात करून सातही पूल प्रत्येकी एकदाच ओलांडून परत मूळ स्थानावर येणे शक्य आहे का, असा प्रश्न पडला होता. या प्रश्नाचे उत्तर शोधण्याचा प्रयत्न महान गणितज्ञ लिओनार्ड ऑयलर यांनी केला. ऑयलर यांनी प्रथम कोनिग्झबर्गच्या चार भागांचे व पुलांच्या रचनेचे प्रतिनिधित्व करणारा आलेख काढला (आकृती क्र.२). अ, ब, क, ड हे शिरोबिंदू कोनिग्झबर्गचे चार भूभाग दर्शवतात.

रेषाखंड एकदाच गिरवून खेळल्या जाणाऱ्या खेळाच्या दृष्टीने या प्रश्नाकडे बघता येईल. कोनिग्झबर्गच्या प्रश्नातील अटींवरून या खेळात ‘प्रत्येक रेषाखंड एकदाच गिरवला गेला पाहिजे व रेषाखंड गिरवताना एकदा एका शिरोबिंदूपासून रेषाखंड गिरवण्यास सुरुवात केली की पेन्सिलचे टोक उचलता येणार नाही’ या अटी लक्षात घेऊ. प्रत्येक शिरोबिंदूसाठी त्या शिरोबिंदूकडे जाणाऱ्या व त्याकडून बाहेर पडणाऱ्या रेषाखंडांची जोडी असेल किंवा जोड्या असतील, म्हणजेच प्रत्येक शिरोबिंदूला जोडलेल्या रेषाखंडांची संख्या सम असेल तर आणि तरच, या खेळातील अटी लक्षात घेऊन एका शिरोबिंदूपासून सुरुवात करून सर्व रेषाखंड गिरवून परत मूळ स्थानी येणे शक्य आहे. आकृती क्र.२ मध्ये प्रत्येक शिरोबिंदूला जोडलेल्या रेषाखंडांची संख्या विषम असल्याने हे शक्य होत नाही. म्हणूनच सातही पूल प्रत्येकी एकदाच ओलांडून परत मूळ स्थानी येणे शक्य नाही, असा निष्कर्ष ऑयलर यांनी काढला. थोडक्यात, प्रत्येक शिरोबिंदूला जोडणाऱ्या रेषाखंडांची संख्या सम असणारा कोणताही आलेख या खेळातील अटी लक्षात ठेवून पूर्ण गिरवता येईल. असा आलेख ऑयलरचा संवृत्त पथ (क्लोज्ड ऑयलेरियन ट्रेल) संबोधला जातो. या निष्कर्षांच्या आधारे आलेख सिद्धांतातील ऑयलरचा पथ (ट्रेल), ऑयलरचा आलेख यांसारख्या महत्त्वाच्या संकल्प नाव त्यासंबंधीची प्रमेये मांडली गेली. सात पुलांच्या या गोष्टीने आलेख सिद्धांत या विस्तीर्ण वृक्षाचे बीज रोवले गेले.

-मुक्ताई मिलिंद देसाई

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

First Published on April 20, 2021 12:13 am

Web Title: article on story of the seven bridges abn 97
Next Stories
1 नवदेशांचा उदयास्त : सेशल्स द्वीपसमूह
2 कुतूहल : ऑयलरचा कळीचा स्थिरांक : e
3 नवदेशांचा उदयास्त : सिएरा लिओन : शेतीप्रधान हिरेनिर्यातदार!
Just Now!
X