गणिताच्या विकासात भर घालणारा एक विरोधाभास म्हणजे ब्रिटिश गणितज्ञ बटरड्र रसेल याने १९०१ साली मांडलेला, संच सिद्धांतासबंधीचा विरोधाभास. हा विरोधाभास असा आहे. - ‘एका गावातील नाभिक गावातल्या अशा सर्व पुरुषांची दाढी करतो, जे स्वत:ची दाढी स्वत: करत नाहीत.’ वरकरणी हे विधान तर्कशुद्ध वाटते. पण त्या नाभिकाची दाढी कोण करतो, असा प्रश्न विचारला तर? आता या नाभिकाने जर स्वत:ची दाढी करायची म्हटले, तर नाभिक हा प्रथम स्वत:ची दाढी न करणाऱ्या पुरुषांच्या गटाचा घटक असायला हवा. तरच त्या नाभिकाला स्वत:ची दाढी करता येईल. याउलट, या नाभिकाने जर स्वत:ची दाढी न करायचे ठरवले, तरीही तो ‘स्वत:ची दाढी न करणाऱ्या पुरुषां’च्याच गटाचा घटक होतो. म्हणजे नाभिकाने स्वत:ची दाढी केली काय किंवा न केली काय, हा नाभिक दाढी न करणाऱ्या पुरुषांच्या गटाचाच घटक ठरतो. तात्पर्य, दोन परस्परविरोधी परिस्थितींत सारखेच निष्कर्ष निघतात. सन १८७० च्या दशकात कँटोर आणि डेडेकिंड यांनी विकसित केलेला संच सिद्धांत (सेट थिअरी) हा, संचाच्या स्वरूपातील वस्तूंच्या गुणधर्मावर आधारलेला आहे. जर्मन गणितज्ञ गॉटलॉब फ्रेग याचाही एकोणिसाव्या शतकाच्या अखेरीस या सिद्धांताच्या विकासाला हातभार लागला होता. मात्र फ्रेग याच्या मांडणीत गंभीर त्रुटी असल्याचे बटरड्र रसेल याने वरील विरोधाभासाद्वारे दाखवून दिले. रसेलचे हे उदाहरण, फ्रेगच्या सिद्धांतातून उपस्थित झालेल्या ‘एखादा संच आपल्या स्वत:चाच घटक असू शकतो का?’ या मूलभूत प्रश्नावर केंद्रित झाले आहे. गॉटलॅब फ्रेग आपल्या सिद्धांतातील या त्रुटी स्वत:हून दूर करू शकला नाही. रसेल यांच्या मते, या सिद्धांतात संचांतील संख्या आणि संच हे एकाच पातळीवरील असल्याचे समजून त्यांचा एकमेकांशी थेट संबंध जोडला गेल्यामुळे हा गोंधळ निर्माण झाला आहे. तसे न करता, संच सिद्धांतात संख्या, संख्यांचा संच, संचाचा संच अशा वेगवेगळ्या पातळींवर विचार करणे गरजेचे आहे. रसेलच्या या विरोधाभासामुळे, संच सिद्धांतातील नियमांची आखणी वेगळ्या पद्धतीने करण्याची गरज स्पष्ट झाली. यामुळे या संच सिद्धांताच्या मांडणीत आमूलाग्र बदल होऊन, कालांतराने हा सिद्धांत ‘झर्मेलो-फँ्रकेल संच सिद्धांत’ म्हणून विकसित झाला. - प्रा. मंदाकिनी दिवाण मराठी विज्ञान परिषद, वि. ना. पुरव मार्ग, चुनाभट्टी, मुंबई २२ office@mavipamumbai.org
