खेळातील ५२ पत्ते असलेला एक जोड घेतला आणि एकानंतर एक पत्ता ठेवायचे ठरवले तर त्यांना एकूण किती प्रकारे मांडता येईल? साहजिकच कुठलाही एक पत्ता सुरुवातीस घेता येईल म्हणजे तो ५२ प्रकारांनी घेता येईल. त्यानंतर उरले ५१ पत्ते. त्यामुळे दुसरा पत्ता ५१ प्रकारांनी मांडता येईल. तिसऱ्या स्थानासाठी ५० पर्याय असतील. असे पुढे पुढे करत गेल्यावर शेवटी एक पत्ता उरेल, जो एकाच प्रकारे मांडता येईल. म्हणजे एकूण ५२x५१x ५० x… x२x१ इतक्या प्रकारांनी मांडणी करणे शक्य आहे. गणितात असा धन पूर्णाकाचा एकावेळी एकने कमी होत जाणारा विशिष्ट गुणाकार हा ‘क्रमगुणाकार’ (फॅक्टोरिअल) म्हणून संबोधला जातो. त्यासाठी ‘!’ हे चिन्ह वापरतात. उदाहरणार्थ ‘६! ’ हा सहाचा क्रमगुणाकार असून त्याचे मूल्य ६! = ६x५x४x३x२x१ = ७२० असे आहे. (०! व १! यांचे मूल्य १ मानले जाते). म्हणजेच ५२ पत्ते ५२! या पद्धतीने मांडता येतील. क्रमगुणाकाराचे मूल्य अतिशय वेगाने वाढून महाकाय होत जाते. उदा. संगणक वापरून ५२! = ८०६५८१७५१७०९४३८७८५७१६६०६३६८५६४०३७६६९७५२८९५०५४४०८८३२७७८२४०००००००००००० असे ६८ अंकी प्रचंड उत्तर मिळते. मात्र दोन ते तीन शतकांपूर्वी जेव्हा गणकयंत्र किंवा संगणक उपलब्ध नव्हते तेव्हा मोठय़ा संख्येचे क्रमगुणाकार मूल्य कसे काढायचे हा गहन प्रश्न होता. त्या संदर्भात ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स स्टर्लिग (११ मे १६९२ ते ५ डिसेंबर १७७०) यांनी एक युक्ती शोधली. त्यांनी क्ष अक्षावर वाढत जाणारे धन पूर्णाक व य अक्षावर त्यांचे क्रमश: क्रमगुणाकार दाखवणारा आलेख तपासला आणि त्याचे निकटन (एप्रॉग्झिमेशन) करणारे सूत्र शोधले. प्राथमिक स्वरूपात ते असे आहे: न! ≈ (√2x π x न )e – न x नन येथे ट्ट हे चिन्ह निकटन किंवा आसन्न मूल्य दर्शवते; सोयीसाठी स्र् ल्३.१४१५६ आणिी ल्२.७१८२८ असे घेता येते. मुख्य म्हणजे ‘न’ च्या मोठय़ा किमतीसाठी हे सूत्र आणखी सोप्या रीतीने असे मांडता येते: लॉग(न!) ≈ न प् लॉग(न)- न. त्या काळी लॉगचे तक्ते उपलब्ध असल्याने मोठय़ा संख्येचे क्रमगुणाकार या सूत्राने करणे सहज शक्य झाले. स्टर्लिगच्या सूत्राची अचूकता वाढवता येते. उल्लेखनीय गोष्ट म्हणजे अलौकिक गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन यांनी त्यासाठी पुढील अधिक सखोल सूत्र दिलेले आहे: लॉग(न!) ≈ नxलॉग(न) - न + (१/६) प्लॉग नx[१+(१+४xनx(१+xन)] + (१/२) x लॉग(π). अचूक उत्तर काढणे अतिशय जटिल असल्यास व्यावहारिक उपयोगासाठी गणितज्ञ सोपी सूत्रे शोधण्याचा प्रयत्न करतात आणि स्टर्लिगचे सूत्र त्याचे उत्तम उदाहरण आहे. - डॉ. विवेक पाटकर मराठी विज्ञान परिषद संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org
