प्रतल भूमितीला पोलादी तार्किक चौकटीत बसवण्याचे मूलभूत कार्य युक्लिडने सुमारे २३०० वर्षांपूर्वी केले. युक्लिडच्या ‘एलिमेंट्स’ या ग्रंथात प्रतल भूमितीवरील भागात ४६५ इतक्या मोठय़ा संख्येत सिद्ध केलेली प्रमेये असून त्यांतील अनेक प्रमेये आजही आपल्या पाठय़क्रमात आहेत. त्यामुळे असा समज होऊ शकतो की प्रतल भूमितीमध्ये नवीन प्रमेयांसाठी वाव नाही. मात्र तसे घडलेले नाही. युक्लिड यांनी विचारात न घेतलेली काही नवी प्रमेये भूमितीत वेळोवेळी येत गेलेली आहेत. या संदर्भात त्रिकोणाच्या अभ्यासाबाबत युक्लिडकडून प्रतल भूमितीत सुटलेले व तुलनेत अलीकडे समाविष्ट केलेले ‘मोर्लेचे प्रमेय’ हे एक होय. त्याचे श्रेय जाते ब्रिटिश-अमेरिकन गणितज्ञ व बुद्धिबळपटू फ्रँक मोर्ले (९ सप्टेंबर १८६० ते १७ ऑक्टोबर १९३७) यांना. या प्रमेयाची अटकळ त्यांनी १८९९ साली मांडली. आपण ते प्रमेय सोबतची आकृती वापरून समजून घेऊ. हे प्रमेय सांगते की अबक असा कुठलाही त्रिकोण घेतला आणि त्याच्या तिन्ही आंतरकोनांचे त्रिभाजन केले, तर त्यातील संलग्न (अ‍ॅडजेसंट) कोनांच्या विभाजक रेषांच्या छेदांपासून नेहमी पफभ असा समभुज त्रिकोण तयार होईल. या समभुज त्रिकोणाला आता ‘मोर्लेचा त्रिकोण म्हणतात. मोर्ले प्रमेयाची काटेकोर सिद्धता प्रथम १९०९ साली एम. टी. नरंजिनर (M. T. Narangienar) यांनी दिली. त्यानंतर त्याच्या २७हून अधिक थेट किंवा अप्रत्यक्ष सिद्धता आता उपलब्ध आहेत. त्यातील अनेक सिद्धता त्रिकोणमितीचा वापर करतात. विशेष म्हणजे कागदाच्या घडय़ांची ओरिगामी पद्धत वापरूनही करून मोर्ले प्रमेयाची सिद्धता दिली गेली आहे. गणितातील नोबेल पारितोषिक असे मानले जाणारे फील्ड्स पदक मिळवलेल्या अ‍ॅलन कोन यांनी अलीकडेच, म्हणजे १९९८ मध्ये बीजगणितीय विश्लेषण पद्धत वापरून या प्रमेयाची एक नवी सिद्धता दिली. त्याशिवाय त्यांनी गणिती सममिती (सिमेट्री) ही सुंदर संकल्पना विशद करण्यासाठी या प्रमेयाचा वापर केला आहे. तथापि प्रतल भूमितीमधील मोर्लेचे प्रमेय युक्लिडेतर भूमिती जशा की, गोलीय (स्फेरिकल) भूमिती आणि अपास्तिक (हायपरबोलिक) भूमिती, यांमध्ये असत्य ठरते. गेल्या एका शतकात मोर्ले प्रमेयाचे व्यापकीकरण (जनरलायझेशन) होऊन त्याचा अनेक दिशांनी विस्तार झाला आहे. त्यातील एक म्हणजे प्रतलावरील कुठल्याही त्रिकोणाच्या बाह्य़ कोनांचे त्रिभाजन केले असतासुद्धा कोनांच्या त्या विभाजक रेषांच्या छेदांपासून समभुज त्रिकोण तयार होईल. मोर्ले प्रमेयात बरीच रहस्ये दडली आहेत असा कयास आहे. तरी त्यांचा शोध घेणे हे गणितज्ञांसाठी आव्हान आहे, संशोधनासाठी हा सुपीक विषय आहे. - डॉ. विवेक पाटकर मराठी विज्ञान परिषद, वि. ना. पुरव मार्ग, चुनाभट्टी, मुंबई २२ office@mavipamumbai.org
