कुतूहल : मोबिअस फल

महत्त्वाचे म्हणजे मोबिअस फलाचा रिमानची परिकल्पना या अनुत्तरित प्रश्नाशी घनिष्ठ संबंध आहे.

सुप्रसिद्ध ‘मोबिअस पट्टी’चे जनक जर्मन गणितज्ञ ए. एफ. मोबिअस (१७९०-१८६८) यांचे अंकशास्त्रातदेखील एक उल्लेखनीय योगदान आहे. ते म्हणजे त्यांच्या नावाने ओळखले जाणारे ‘मोबिअस फल’ (फंक्शन), जे त्यांनी १८३२ साली मांडले होते. या फलाची कल्पना समजण्यासाठी सोबतची आकृती बघा. त्यातील डावीकडील शून्य अंकित असलेल्या पहिल्या पेटीत (४, ८, ९, १२, १६) अशा संख्या आहेत म्हणजे त्या पेटीत अशा संख्या आहेत ज्यांचे मूळ संख्येत (प्राइम) अवयव पाडल्यास एक मूळ संख्या दोन वेळा आलेली आहे (उदा. ४=२x२,

९=३x३), तर -१ अंकित असलेल्या मधल्या पेटीत (२,३,५, ३०, ४२) अशा संख्या आहेत ज्या मूळ संख्या आहेत किंवा ज्यांचे अवयव पाडल्यास त्यांची एकूण संख्या विषम आहे (उदा. ३० = २x३x५, ४२ = २पx३x७) आणि १ अंकित असलेल्या उजवीकडील शेवटच्या पेटीत (१,६,१०,१४, २१) अशा संख्या आहेत ज्यांचे अवयव पाडल्यास त्यांची एकूण संख्या सम आहे (उदा. ६ = २x३, १४=२x७). १ ही मूळ संख्या नसल्यामुळे मोबिअसने तिला शेवटच्या पेटीत ठेवले.

तरी वरील तीन नियमांचा वापर करून दिलेल्या कुठल्याही क्ष या नैसर्गिक संख्येसाठी, व्यापक रूपात मोबिअस फल म(क्ष) असे दर्शवले जाते:

म(क्ष) = ०, जर  क्षच्या अवयवांत मूळ संख्येचा वर्ग आला असेल,म(क्ष) = -१, जर क्ष मूळ संख्या असेल किंवा क्षच्या अवयवांत मूळ संख्येचा वर्ग आला नसेल आणि एकूण मूळ अवयवांची संख्या विषम असेल,

म(क्ष) = १, जर क्षच्या अवयवांत मूळ संख्येचा वर्ग आला नसेल आणि एकूण मूळ अवयवांची संख्या सम असेल.

मोबिअस फलाचे अनेक गणिती गुणधर्म निदर्शनास आले आहेत उदाहरणार्थ, जेव्हा अ आणि ब या सापेक्ष मूळ संख्या (कोप्राइम) असतात, तेव्हा म(अ प् ब) = म(अ) प् म(ब). मोबिअस व्यस्तन (इन्व्हर्शन) सूत्र अशी एक कळीची संकल्पनाही मोबिअस फलावरून विकसित केली गेली आहे. जर यादृच्छिक पद्धतीने (रँडमली) नैसर्गिक संख्यांच्या मोबिअस फलांचा मोठा समूह निवडला तर संभाव्यता सिद्धांत सांगतो की त्यातील कुठल्याही संख्येच्या मोबिअस फलाचे मूल्य ० असण्याची संभाव्यता (१ – ६/ π square ) आणि -१ किंवा १ असण्याची संभाव्यता ३/ π square असेल. महत्त्वाचे म्हणजे मोबिअस फलाचा रिमानची परिकल्पना या अनुत्तरित प्रश्नाशी घनिष्ठ संबंध आहे. अंकशास्त्राशिवाय चयनशास्त्रात आणि भौतिकशास्त्रात मोबिअस फलाचा उपयोग मोठय़ा प्रमाणात केला जातो. तथापि मोबिअस फलावर अधिक संशोधनाला वाव आहे.

– डॉ. विवेक पाटकर

मराठी विज्ञान परिषद

संकेतस्थळ : http://www.mavipa.org

ईमेल : office@mavipamumbai.org

Loksatta Telegram लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

Web Title: Mobius function and the mobius inversion formula zws

ताज्या बातम्या