एका समीकरणात एकापेक्षा जास्त चलपदे असणारी कोडी सोडवण्याची गंमत काही औरच! काही समीकरणांची फक्त पूर्णाकी उत्तरे स्वीकारार्ह मानली तरी अनेक उत्तरे असू शकतात. मात्र, अशी काही समीकरणे एखाद्या चलाची सुयोग्य किंमत मानून सोडवणे शक्य असते. उदाहरणार्थ, भास्कराचार्याचे रत्नविनिमयाचे कोडे : ‘चार रत्नविक्रेत्या मित्रांकडे प्रत्येकी अनुक्रमे ८ माणके, १० इंद्रनील, १०० मोती आणि ५ हिरे होते. मैत्रीखातर प्रत्येकाने आपल्याकडील एकेक रत्न उर्वरित प्रत्येक मित्राला दिल्यामुळे प्रत्येकाकडील शिल्लक रत्नांचे एकूण मूल्य समान झाले. तर प्रत्येक रत्नाची किंमत किती?’ येथे माणिक, इंद्रनील, मोती आणि हिरा यांची प्रत्येकी किंमत अनुक्रमे अ, ब, क आणि ड रुपये मानली, तर मित्रांना एकेक रत्न दिल्यावर प्रत्येकापाशी उरलेल्या रत्नांचे मूल्य समान असल्यामुळे ५अ+ब+क+ड = अ+७ब+क+ड = अ+ब+९७क+ड = अ+ब+क+२ड अशी समीकरणे मिळतात. म्हणजेच ४अ = ६ब = ९६क = ड. येथे एका मोत्याची किंमत क = १ मानल्यास अ:ब:क:ड = २४:१६:१:९६. यामुळे येथे या गुणोत्तरातील एकापेक्षा जास्त उत्तरे येतील. श्रीधराचार्याच्या पाटीगणितात फळांचे कोडे आहे ते असे : ‘२ रुपयांस १ डाळिंब, ३ रुपयांस ५ आंबे आणि एका रुपयास २ कवठफळे मिळतात. तर ८० रुपयांत १०० फळे आणा पाहू!’ समजा, ८० रुपयांत क्ष डाळिंबे, ५य आंबे आणि २झ कवठफळे अशी एकूण १०० फळे आणली. त्यानुसार दोन समीकरणे मिळतात. क्ष+५य+२झ=१०० आणि २क्ष+३य+झ= ८०. पहिल्या समीकरणास २ ने गुणून एक चल कमी केला, तर ७य+३झ=१२० हे दोन चल असलेले नवे समीकरण मिळते. ‘य’ची सुयोग्य किंमत ३ मानली, तर झ=३३ आणि क्ष=१९ अशा किमती येतात. म्हणजेच ३८ रुपयांची १९ डाळिंबे, ९ रुपयांचे १५ आंबे आणि ३३ रुपयांची ६६ कवठफळे आणता येतील. गंमत म्हणजे, ‘य’ची किंमत ६ मानली, तर १८ डाळिंबे, ३० आंबे आणि ५२ कवठफळे मिळून १०० फळे ८० रुपयांत येतात. आणखी उत्तरे संभवतात का ते पाहा बरे! असेच चार चल असलेले पक्ष्यांचे कोडेही आहे ते असे : ‘३ रुपयांस ५ कबुतरे, ५ रुपयांस ७ सारस, ७ रुपयांस ९ हंस आणि ९ रुपयांस ३ मोर मिळतात. राजपुत्राच्या करमणुकीखातर १०० रुपयांस १०० पक्षी आणायचे असल्यास प्रत्येकी किती पक्षी येतील आणि त्यांच्या किमती किती असतील?’ प्राचीन गणितग्रंथांतील अशी कोडी सोडवण्याचा आनंद जिज्ञासूंनी मिळवावा. - निशा पाटील मराठी विज्ञान परिषद, संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org
