प्रतलावरील तीन बिंदू जेव्हा एकरेषीय नसतात, तेव्हा त्यांना जोडून एक त्रिकोण तयार होतो. या त्रिकोणाच्या संदर्भात काही रचना करताना, त्याच प्रतलातील तीन वेगवेगळे बिंदू मिळतात आणि या बिंदूंपासून आपल्याला बहुधा अपेक्षित असतो आणखी एक त्रिकोण. परंतु कधीकधी हा त्रिकोण शून्य क्षेत्रफळाचा होऊन, त्याची एक रेषा बनून जाते. म्हणजेच ते विशिष्ट बिंदू एकरेषीय होतात. अशा रेषेमागे गणितातील अनेक तत्त्वे दडलेली असतात. याच प्रकारची एक रेषा म्हणजे- सिमसन रेषा! रॉबर्ट सिमसन या गणितज्ञाच्या नावाने प्रसिद्ध असलेल्या या रेषेचे स्वरूप प्रथम विलियम वॉलेस यांनी १७९९ मध्ये मांडले. आपण तिची रचना वरील आकृतीद्वारे समजून घेऊ. दिलेल्या आकृतीत ‘अबक’ या त्रिकोणाच्या परिवर्तुळावरील (सर्कमसर्कल) ‘प’ या बिंदूतून ‘अब’, ‘बक’ आणि ‘अक’ या बाजूंवर अनुक्रमे ‘पन’, ‘पम’, ‘पल’ हे लंब टाकले तर ‘न’, ‘म’, ‘ल’ हे बिंदू एकरेषीय असतात. आकृतीतील हीच सिमसन रेषा! या प्रमेयाचा व्यत्यास (कॉन्व्हर्स)सुद्धा सत्य आहे. जर ‘प’ या बिंदूपासून सर्वात जवळ असलेले, त्याच प्रतलातील ‘न’, ‘म’, ‘ल’ हे तीन एकरेषीय बिंदू अनुक्रमे ‘अब’, ‘बक’, ‘अक’ या तीन स्वतंत्र रेषांवर असतील, तर ‘प’ हा बिंदू ‘अबक’ त्रिकोणाच्या परिवर्तुळावर असतो. सिमसन रेषेचे हे प्रमेय आणि त्याचा व्यत्यास, आपल्याला चक्रीय चौकोनाच्या गुणधर्मांचा वापर करून सिद्ध करता येतात. आणखीही काही खास गुणधर्म ही रेषा दाखवते. या रेषेचे त्रिकोणाच्या संदर्भातील नवबिंदू वर्तुळाशी (नाइन पॉइंट सर्कल) भौमितिक संबंध आहेत. उदाहरणार्थ, एक संबंध असा : ‘अबक’ या त्रिकोणाचा लंबसंपात बिंदू (ऑर्थोसेंटर) आणि दिलेल्या आकृतीतील ‘प’ बिंदू यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाची सिमसन रेषा ही दुभाजक असते, आणि हा मध्यबिंदू नवबिंदू वर्तुळावर असतो. आणखी एक गुणधर्म म्हणजे, जर दोन त्रिकोणांचे एकच परिवर्तुळ असेल तर त्या परिवर्तुळावरील ‘प’ या बिंदूतून त्या दोन त्रिकोणांकरता दोन सिमसन रेषा काढता येतात. या दोन रेषांमधील कोन हा त्या परिवर्तुळावरील अन्य कुठल्याही बिंदूतून काढलेल्या दोन सिमसन रेषांकरता समान असतो. मूळ प्रमेय तसेच त्याचा व्यत्यास सिद्ध करणे किंवा सिमसन रेषेचे असे गुणधर्म वेगवेगळ्या पद्धतींनी सिद्ध करणे, या स्वरूपाचे आव्हानात्मक प्रश्न ऑलिम्पियाडसारख्या परीक्षांसाठी महत्त्वाचे असतात. म्हणून अनेक गुणवैशिष्ट्यांनी शोभणाऱ्या अशा रेषा गणिताच्या विद्यार्थ्यांनी अभ्यासायला हव्यात! - प्रा. सुमित्रा आरस मराठी विज्ञान परिषद, संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : office@mavipamumbai.org
