मित्रांनो, महाराष्ट्र लोकसेवा आयोगाच्या पोलीस उपनिरीक्षक या पदासाठी पूर्वपरीक्षा २५ ऑगस्ट २०१३ रोजी होत आहे. या परीक्षेत गणित हा उपघटक अत्यंत महत्त्वाचा आहे. साधारणत: २० ते २२ प्रश्न या उपघटकांवर विचारले जातात. व्यवस्थित तयारी केल्यास १८ ते २० गुण या उपघटकांवर मिळवणे शक्य आहे. परीक्षेत हा घटक सोडविताना पुढील बाबींची नोंद घ्यावी.
१. जर प्रश्न मोठा असेल व आकडेमोड करण्यास वेळ लागत असेल तर तो प्रश्न शेवटी सोडवावा. सुरुवातीचा वेळ त्यात दवडू नये.
२. जर गणिताचे प्रश्न इतर प्रश्नांबरोबर दिलेले असतील तर शक्यतो ज्या क्रमाने प्रश्न असतील त्या क्रमाने सोडविण्याचा प्रयत्न करावा. जे प्रश्न सुटत नसतील त्यांमध्ये जास्त वेळ न घालवता त्या प्रश्नांसमोर प्रश्नपत्रिकेत खूण करून पुढील प्रश्न सोडवण्यास घ्यावा.
’ ल.सा.वि. (छउट) :-
ल.सा.वि. म्हणजे लघुत्तम साधारण विभाज्य संख्या थोडक्यात, दिलेल्या संख्येने ज्या लहानात लहान संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या म्हणजे ल.सा.वि.
उदा. ४२ व ५६ चा ल.सा.वि.
४२ = २ प् ३ प् ७
५६ = २ प् २ प् २ प् ७
ल.सा.वि. = २ प् ७ प् २ प् २ प् ३ = १६८
ल.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपकी नेहमी मोठी संख्याच असते.
’ म.सा.वि. (ऌउा):-
मसावि म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक संख्या (ऌउा) थोडक्यात, दिलेल्या संख्येला ज्या मोठय़ात मोठय़ा संख्येने (विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या अथवा तो विभाजक म्हणजे त्यांचा म.सा.वि. होय.
उदा. ४२ व ५६ चा मसावि.
४२ = २ प् ३ प् ७ ५६ = २ प् २ प् २ प् ७
म.सा.वि. = २ प् ७ = १४ ( २ व ७ हे सामायिक अवयव आहेत.)
मसावि हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी लहान संख्याच असते.
२) दोन संख्यांचा गुणाकार :- ल.सा.वि. प् म.सा.वि.
३) अपूर्णाकाचा ल.सा.वि. = अंशातील संख्येंचा ल.सा.वि.
छेदातील संख्येंचा मसावि
४) अपूर्णाकाचा मसावि = अंशातील मसावि
छेदांचा ल.सा.वि.
’ सरासरी :
१) दिलेल्या निरनिराळ्या राशींची बेरीज करून त्या बेरजेस राशींच्या संख्येने भागले असता मिळणाऱ्या संख्येस त्या राशींची सरासरी म्हणतात.
उदा. २, ३, ५ यांची सरासरी = २ + ३ + ५ = २
५
२) दोन गटांची तुलना करण्यासाठी त्या गटांची सरासरी काढणे सोयीस्कर असते.
३) क्रमश: संख्येची सरासरी ही मधली संख्या असते.
४) ल्ल या क्रमश: संख्यांची सरासरी
= (पहिली संख्या + शेवटची संख्या)
२
उदा. 1) क्रमश: १ ते २५ संख्येंची सरासरी = १ + २५ = १३
२
2) क्रमश: १ ते २० पर्यंत सर्व विषम संख्येची सरासरी
= १ + १९ = १०
२
५) ल्ल या क्रमश: संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या ) प् ल्ल
२
उदा. १ ते १०० अंकांची बेरीज =
(१+१००) प् १०० = १०१ प् १०० = ५०५०
२ २
६) वेगाच्या बाबतीत सरासरीसाठी खालील महत्त्वाचे सूत्र लक्षात ठेवावे.
जर एक गाडी काही अंतर ७ किमी दर ताशी या वेगाने जाते, तसेच परतीचा तेवढाच प्रवास ती ८ किमी दर ताशी या वेगाने करीत असेल तर त्या गाडीचा सरासरी वेग –
२ प् ८
७ + ८ किमी दर तास
(येथे लक्षात ठेवा सरासरी वेग ७ + ८ असा होत नाही.)
२
उदा. एक गाडी मुंबई ते पुणे २० किमी/तास या वेगाने जाते, तसेच पुणे ते मुंबई हे अंतर ३० किमी/तास या वेगाने येते, तर गाडीचा सरासरी वेग किती?
सरासरी वेग = २ प् ८ = २ प् २० प् ३० = ४ किमी/तास
७ + ८ २० + ३०
’ शेकडेवारी :
शेकडेवारीचा उपयोग बऱ्याच ठिकाणी होतो. उदा. परीक्षेतील गुण, रकमेवरील व्याज उत्पन्नावर भरावा लागणारा आकार इ.
शेकडा नफा म्हणजे १०० रुपयांवर झालेला नफा.
१) अपूर्णाकांचे शेकडेवारीत रूपांतर करण्यासाठी त्या अपूर्णाकाला १०० ने गुणावे म्हणजे ४/५ चे शेकडेवारीत रूपांतर करताना = ४/५ प् १०० = ८०%
२) दशांश अपूर्णाकाचे शेकडेवारीत रूपांतर करण्यासाठीही अपूर्णाकास १०० ने गुणावे लागते.
उदा. ०.५ चे शेकडेवारीत रूपांतर करण्यासाठी ०.५ प् १०० = ५०% व ०.०५ प् १०० = ५%
३) परीक्षेत उदाहरणे सोडविताना काही उदाहरणांत एक संख्या व्यवहारी अपूर्णांकांत तर दुसरी संख्या दशांश अपूर्णांकांत असते. अशा वेळी उदाहरण सोडवताना वेळ जातो. ते टाळण्यासाठी खालील माहिती लक्षात ठेवा.
१/२ म्हणजे ०.५ व ०.५ म्हणजेच ५०%
१/४ म्हणजे ०.२५ व ०.२५ म्हणजेच २५%
३/४ म्हणजे ०.७५ व ०.७५ म्हणजेच ७५%
१/८ म्हणजे ०.१२५ व ०.१२५ म्हणजेच १२.५%
१/५ म्हणजे ०.२ व ०.२ म्हणजेच २०%
२/५ म्हणजे ०.४ व ०.४ म्हणजेच ४०%
१/१० म्हणजे ०.१ व ०.१ म्हणजेच १०%
१/२० म्हणजे ०.०५ व ०.०५ म्हणजेच ५%
३/२० म्हणजे ०.१५ व ०.१५ म्हणजेच १५%
३/२५ म्हणजे ०.१२ व ०.१२ म्हणजेच १२%
उदा. एखाद्या संख्येचे २०% काढावयाचे असेल तर त्या संख्येला १/५ ने गुणा.
१०० चा २०% काढताना = १०० प्१/५ = २०% असे करू शकतात. यामुळे तुमची आकडेमोड व वेळ वाचतो.
’ नफा – तोटा :
१) विक्री = खरेदी + नफा आणि खरेदी = विक्री + तोटा
२) नफा किंवा तोटा तसेच शेकडा नफा किंवा शेकडा तोटा हा नेहमी खरेदीच्या किमतीवर ठरवला जातो. तो विक्रीच्या किमतीवर कधीही ठरवला जात नाही.
३) उदाहरणात जर वस्तूची खरेदी किंमत दिलेली नसेल तर खरेदीची किंमत १०० मानून उदाहरण सोडवणे जास्त सोपे जाते.
४) वस्तूची खरेदी किंमत ठरवताना, त्या वस्तूची किंमत, वाहतूक खर्च, जकात, हमाली खर्च इ. मिळून येणारी रक्कम ही वस्तूची खरेदी किंमत समजावी.
५) दर्शनी किंमत – वस्तूची विक्री करण्यापूर्वी ती वस्तू केवढय़ास विकायची, हे ठरवले जाते व नंतरच वस्तूवर किंमत छापली जाते. त्या किमतीस छापील किंवा दर्शनी किंमत म्हणतात.
६) सूट : मालाची विक्री जास्त व्हावी तसेच गिऱ्हाईकांना आकर्षति करण्यासाठी दुकानदार छापील किमतीपेक्षा कमी किमतीत वस्तू विकत देतो, या सवलतीस सूट म्हणतात.
शेकडा सूट = सूट प् १००
दर्शनी किंमत
७) शेकडा नफा = प्रत्यक्ष नफा प् १००
खरेदी
८) विक्रीची किंमत तसेच शेकडा नफा किंवा शेकडा तोटा दिला असल्यास त्यावरून खरेदी किंमत काढताना पुढील सूत्रांचा वापर करावा.
खरेदी किंमत = विक्री किंमत प् १००
१०० + शेकडा नफा
खरेदी किंमत = विक्री किंमत प् १००
१०० – शेकडा तोटा
९) खरेदी किंमत तसेच शेकडा नफा किंवा शेकडा तोटा यावरून विक्रीची किंमत काढताना
विक्री किंमत = खरेदी प् (१०० + शेकडा नफा)
१००
विक्री किंमत = खरेदी प् (१०० – शेकडा तोटा)
१००
’ काळ, काम व वेग :
१) एखादे काम करण्यास लागणारा वेळ, ते काम करीत असलेल्या व्यक्तींच्या संख्येवर अवलंबून असतो. काळ निश्चित असल्यास कमी माणसे कमी काम करतात व जास्त माणसे जास्त काम करतील. अशा वेळी माणसे आणि काम हे सम प्रमाणात असतात.
२) काम निश्चित असल्यास ते पूर्ण करण्यासाठी कमी माणसांना जास्त दिवस लागतात व जास्त माणसे तेच काम कमी दिवसांत पूर्ण करतात. अशा वेळी माणसे व दिवस हे व्यस्त प्रमाणात असतात.
३) एक व्यक्ती एक काम सात दिवसांत करते. याचा अर्थ एका दिवसाचे त्या व्यक्तीचे काम १/७.
४) एक काम अ ही व्यक्ती ७ दिवसांत पूर्ण करत असेल व ब ही व्यक्ती तेच काम ८ दिवसांत पूर्ण करत असेल तर दोघे मिळून ते काम ७ ८
७+८ एवढय़ा दिवसांत पूर्ण करतील.
५) जर अ व ब हे दोघे ही एकत्रितपणे एक काम ७ दिवसांत पूर्ण करतात, तेच काम अ हा स्वतंत्रपणे ८ दिवसांत पूर्ण करतो, तर ब हा स्वतंत्रपणे ते काम किती दिवसांत पूर्ण करेल? हे काढण्यासाठी खालील सूत्रांचा वापर करावा.
७ ८
८ – ७ एवढय़ा दिवसांत पूर्ण करेल.
उदा. अमित व रमेश हे दोघे मिळून एकत्रितपणे एक काम सहा दिवसांत पूर्ण करतात. अमित तेच काम स्वतंत्रपणे १५ दिवसांत पूर्ण करत असेल, तर रमेश तेच काम किती दिवसांत पूर्ण करेल?
रमेशला ते काम पूर्ण करण्यासाठी लागणारा वेळ
७ ८
८ – ७ एवढय़ा दिवसांत पूर्ण करतो.
१५ प् ६
१५-९ = १० दिवसांत पूर्ण करेन.
वरील प्रश्न सोडवण्यासाठी खालील सूत्राचा वापर केल्यास प्रश्न सोडवणे जास्त सोपे होईल.
ट1ऊ1ळ1 = ट2ऊ2ळ2
ह1 ह2
ट1= माणसे , ऊ1 = दिवस, ळ1 = वेळ, ह1= काम
’ वेग व वेळासंबंधी उदाहरणे :
१) वेळासंबंधी उदाहरणे सोडवताना सर्वप्रथम उदाहरणातील एकके समान आहेत किंवा नाही हे जरूर पाहणे, किमी/तास या वेगाच्या एककाचे मीटर/सेकंदमध्ये रूपांतरण करताना किमी/तास, या एककाला ५/१८ ने गुणावे.
उदा. ५४ किमी/तास = ५४ ७ ५ /१८ = १५ मी./सेकंद
२) मी./सेकंद याचे किमी/तास मध्ये रूपांतरण करताना मी./सेकंद १८ / ५ ने गुणावे.
उदा. १५ मी./सेकंद = १५ ७ १८/५ = ५४ किमी/ तास
३) अंतर = वेग ७ वेळ
४) आगगाडीला खांब ओलांडण्यासाठी स्वत:च्या लांबीइतके अंतर धावावे लागते, म्हणून खांब ओलांडण्यासाठी लागणारा वेळ म्हणजे आगगाडीला स्वत:च्या लांबीएवढे अंतर धावण्यासाठी लागणारा वेळ असते.
५) आगगाडीला एखादा पूल / फलाट किंवा दुसरी आगगाडी ओलांडण्यासाठी धावावे लागणारे अंतर ती आगगाडी आणि पूल यांच्या लांबीच्या बेरजेइतके अंतर धावावे लागते.म्हणून पूल ओलांडण्यासाठी लागणारा वेळ म्हणजे आगगाडी व पूल यांच्या लांबीच्या बेरजेएवढे अंतर धावण्यासाठी लागणारा वेळ होय.
६) सापेक्ष वेग म्हणजे दोन वाहने धावत असतील, तर त्यांपकी कमी वेगाने धावणारे वाहन स्थिर आहे अशी कल्पना केल्यास दुसरे वाहन तुलनात्मकदृष्टय़ा हे ठरविणे होय.
७) दोन वाहने एकाच दिशेने धावत असतील तर त्यांचा सापेक्ष वेग हा त्या वाहनांच्या वेगांच्या वजाबाकी एवढा असते.
८) दोन वाहने परस्पर विरुद्ध दिशेने धावत असतील तर त्यांचा सापेक्ष वेग त्या वाहनांच्या वेगांच्या बेरजेइतका असतो.
९) बोगद्याची लांबी = गाडीने कापायचे अंतर – गाडीची लांबी
उदा. ताशी ४० किमी वेगाने जाणारी ४०० मीटर लांबीच्या आगगाडीस ४०० मीटर लांबीचा पूल ओलांडण्यासाठी किती वेळ लागेल?
पूल ओलांडण्यासाठी लागणारा वेळ =
गाडीची लांबी + पुलाची लांबी प् १८
ताशी वेळ ५
४०० + ४०० प् १८
= ४० ५
= ७२ सेकंद (१ मि. १२ से. )
नळ व टाकी यांवर आधारित प्रश्न :
१) जर एका नळाला एक टाकी सात तासांत भरते तर एक तासात त्या टाकीचा १/७ भाग भरेल.
२) जर एका नळाने पाण्याने पूर्ण भरलेली टाकी आठ तासांत रिकामी होते, तर एका तासात त्या टाकीचा १/८ भाग रिकामा होतो.
३) एका नळाने सात तासांत एक टाकी भरल्याने भरलेली टाकी दुसऱ्या नळाने आठ तासांत रिकामी केल्यास व दोन्ही नळ चालू ठेवल्यास..
अ) एका तासात त्या टाकीचा १ – १ एवढा भाग भरेल.
७ ८
ब) पूर्ण टाकी भरण्यासाठी लागणारा वेळ = ७ ८
८ – ७
४) एक टाकी दोन स्वंतत्र नळाने अनुक्रमे सात तास व आठ तासांत भरते. जर दोन्ही नळ चालू ठेवलेत तर
अ) एका तासात त्या टाकीचा १ + १ एवढा भाग भरेल.
७ ८
ब) पूर्ण टाकी भरण्यासाठी लागणारा वेळ = ७ ८
७ + ८
नाणी :
१) एकूण नाणी = एकूण रक्कम प् १००
दिलेल्या नाण्यांच्या पशांची बेरीज
उदा. २० पसे, २५ पसे व ५० पशांची समान नाणी घेतल्यास १९ रुपयांत प्रत्येक प्रकारचे किती नाणे येतील?
एकूण रक्कम = १९, पशांची बेरीज (२० + २५ + ५०) = ९५ वरील सूत्रांवरून १९ प् १०० / ९५= १९००/९५ = २०
२) एकूण नोटा = नोटांच्या बंडलमधील शेवटच्या नोटेतील क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + १
उदा. १० रुपयांच्या नोटांच्या बंडलमधील ९५३१९ पासून ९५३७५ पर्यंत क्रमांक आहे, तर त्या नोटांच्या बंडलात एकूण किती रक्कम होती.
सूत्र: एकूण नोटा = नोटांच्या बंडलमधील शेवटच्या नोटेतील क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + १
= (९५३७५ – ९५३१९) + १ = ५६ + १ = ५७
लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.
First Published on August 19, 2013 8:36 am
