20 June 2019

News Flash

कुतूहल : चार रंगांचे प्रमेय

गणित सोपे करण्यासाठी केम्पने प्रथम आकृतीतील सीमांची संख्या तात्पुरती कमी करण्याचे ठरवले.

इ.स. १८५२ मध्ये फ्रान्सिस गुथ्री या महाविद्यालयीन विद्यार्थ्यांला एक प्रश्न पडला. एखाद्या नकाशासारख्या आकृतीतील प्रत्येक प्रदेशाला, तो वेगळा ओळखू येण्यासाठी वेगवेगळा रंग द्यायचा आहे. यासाठी अर्थातच शेजारच्या दोन प्रदेशांना एकच रंग असता कामा नये. तेव्हा अशी आकृती रंगवण्यासाठी चार रंग पुरेसे ठरतील का? फ्रान्सिसने हा प्रश्न आपल्या भावामार्फत ऑगस्टस डी मॉर्गन या युनिव्हर्सिटी कॉलेज लंडन या महाविद्यालयातील गणितज्ञाला विचारला. गुथ्रीची ही साधीसुधी वाटणारी ‘चार रंगांची’ शंका, आजच्या आलेख सिद्धांताच्या विकासातील (ग्राफ थिअरी) एक महत्त्वाची पायरी ठरली.

फ्रान्सिस गुथ्रीच्या प्रश्नाला उत्तर देण्याचा प्रयत्न १८७९ साली आल्फ्रेड केम्प या इंग्लिश गणितज्ञाने केला. गणित सोपे करण्यासाठी केम्पने प्रथम आकृतीतील सीमांची संख्या तात्पुरती कमी करण्याचे ठरवले. त्यासाठी त्याने अभ्यासल्या जाणाऱ्या प्रत्येक आकृतीतला एक प्रदेश मोकळा सोडला. त्यानंतर त्याने उर्वरित सर्व प्रदेशांना रंग द्यायचे ठरवले. हे उर्वरित प्रदेश जर तीन रंगांत रंगवता आले, तर मोकळा सोडलेला एकमेव प्रदेश हा चौथ्या रंगाने रंगवायचा. या पद्धतीने केम्प याने हा प्रश्न सोडवलाही. परंतु १८९० साली इंग्लंडच्याच पर्सी हेवूड याने केम्पच्या सिद्धतेतील त्रुटी दाखवून दिली. (केम्पनेही ही त्रुटी मान्य केली.)

केम्प याच्या पद्धतीसारखीच असणारी पद्धत वापरून, १९७७मध्ये अमेरिकेतील इलिनॉय विद्यापीठातील केनेथ अ‍ॅपेल आणि वोल्फगांग हाकेल यांनी या प्रमेयाची सिद्धता संगणकाद्वारे मांडली. सिद्धतेच्या त्या अपारंपरिक पद्धतीमुळे गणिताच्या क्षेत्रात खळबळ उडाली. या गणितज्ञांनी संगणकाच्या साहाय्याने प्रत्येक नकाशात आढळतीलच, अशा मूलभूत १,९३६ रचनांची यादी केली. या आकृत्या रंगवण्यास किती रंग लागतील याचे संगणकांच्या साहाय्याने त्यांनी गणित केले. पन्नास हजारांहून अधिक नकाशांचा अभ्यास करूनही, त्यांना चार रंगांहून अधिक रंगांचा वापर करावा लागेल असा एकही नकाशा आढळला नाही. १९९७ साली इतर गणितज्ञांनी यातील मूलभूत रचनांची संख्या ६३३ वर आणून ही सिद्धता अधिक सोपी केली. मात्र या पद्धतीतसुद्धा संगणकाचा वापर केला गेला. अनेक गणितज्ञांच्या मते या प्रश्नाची सिद्धता ही संगणकमुक्त असायला हवी. त्यामुळे फ्रान्सिस गुथ्रीच्या विधानाच्या संगणकमुक्त सिद्धतेचा शोध यापुढेही चालूच राहणार आहे.

– प्रा. श्मामला जोशी (मुंबई) मराठी विज्ञान परिषद,

वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२  office@mavipamumbai.org

First Published on May 23, 2019 1:17 am

Web Title: four color theorem graph theory augustus de morgan