कुतूहल : गणिती तर्कदोष (१=२)

चुकीचा युक्तिवाद करणे, जे सिद्ध करायचे आहे ते गृहीत धरणे आणि निश्चित युक्तिवादाविना निष्कर्ष काढणे यांवरून हेत्वाभासांचे वर्गीकरण करता येईल.

एखादे असत्य विधान सत्य आहे असे भासवणे म्हणजे तर्कदोष किंवा हेत्वाभास होय. गणिती तर्कदोष (फॅलसी) या संज्ञेबाबतचे विवेचन अ‍ॅरिस्टोटल, युक्लिड, डी मॉर्गन अशा गणितज्ञांनी केले आहे. डी मॉर्गन यांच्या ‘फॉर्मल लॉजिक‘ या पुस्तकात अ‍ॅरिस्टॉटलच्या तर्कदोषाबद्दलच्या स्पष्टीकरणाची विस्तृत चर्चा केली आहे. तर्कगणित, भूमिती, बीजगणित यांतील अनेक हेत्वाभास प्रसिद्ध आहेत. विरोधाभास म्हणजे एकाच वेळी सत्य व असत्य असणारे विधान होय तर, हेत्वाभासात असत्य विधान सत्य आहे असे भासवले जाते. चुकीचा युक्तिवाद करणे, जे सिद्ध करायचे आहे ते गृहीत धरणे आणि निश्चित युक्तिवादाविना निष्कर्ष काढणे यांवरून हेत्वाभासांचे वर्गीकरण करता येईल.

१=२ हे असत्य विधान फक्त एक चुकीचा युक्तिवाद वापरून सत्य आहे असे भासवता येते. (आकृती पाहा).

बघूया १=२ या तर्कदोषामध्ये काय दडलंय!

१) समजा अ, ब या शून्याव्यतिरिक्त संख्या आहेत. अ=ब मानू

२) दोन्ही बाजूंना ब ने गुणून, अब=ब२

३) दोन्ही बाजूंतून अ२ वजा करून, अब – अ२ = ब२ – अ२

४) ब२- अ२ यांचे अवयव (ब-अ)(ब+अ) असे मिळतात आणि अब – अ२ याचे अवयव अ(ब- अ) असे मिळतात.

त्यावरून अब – अ२ = ब२ – अ२ हे अ(ब – अ) = (ब-अ)(ब+अ) असे लिहिता येईल.

५) वरील समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना (ब – अ) ने भागून, अ = ब+अ मिळते.

६) अ=ब असे मानलेले असल्याने अ = ब+अ हे ब = ब+ब म्हणजेच ब = २ब असे लिहिता येईल.

या समीकरणातील दोन्ही बाजूंना ब ने भागले तर १=२ असे उत्तर मिळेल. 

समीकरण सोडवताना पाचव्या पायरीमध्ये (ब-अ) ने समीकरणातील पदांना भागले आहे. इथे सुरुवातीला अ=ब असे गृहीत धरले आहे. त्यामुळे ब-अ या पदाची किंमत शून्य येते व शून्याने कोणत्याही संख्येला भागणे अमान्य आहे, त्यामुळे या पायरीतील गणिती क्रिया चूक ठरते. या एका चुकीच्या पायरीमुळेच शेवटी १=२ असे चुकीचे समीकरण मिळते. सहाव्या पायरीमध्ये समीकरणाला ‘ब’ ने भागणे ही क्रिया चुकीची ठरत नाही. कारण ब ही कोणतीही शून्याव्यतिरिक्त संख्या आहे असे गृहीत धरलेले आहे, तर मग दुसऱ्या आकृतीमधील हेत्वाभासातील चुकीची पायरी ओळखा बरे! –  मुक्ताई मिलिंद देसाई मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : http://www.mavipa.org    

ईमेल : office@mavipamumbai.org

Loksatta Telegram लोकसत्ता आता टेलीग्रामवर आहे. आमचं चॅनेल (@Loksatta) जॉइन करण्यासाठी येथे क्लिक करा आणि ताज्या व महत्त्वाच्या बातम्या मिळवा.

मराठीतील सर्व नवनीत बातम्या वाचा. मराठी ताज्या बातम्या (Latest Marathi News) वाचण्यासाठी डाउनलोड करा लोकसत्ताचं Marathi News App. ताज्या बातम्या (latest News) फेसबुक , ट्विटरवरही वाचता येतील.

Web Title: A false statement is true to pretend is a fallacy akp

ताज्या बातम्या