कुतूहल – अढळपदी स्थिर बिंदू प्रमेय!

स्थिर बिंदू प्रमेय संस्थिती (टोपॉलॉजी) या गणिती शाखेत तसेच एकूण गणित विषयात एक कळीचे प्रमेय मानले जाते. वरील उदाहरणात सांगितल्याप्रमाणे ते दोन मितीच्या मर्यादित क्षेत्रात एल. ई. जे. ब्रॉवर या डच गणितीने १९०९ साली प्रथम मांडून सिद्ध केले. त्यासाठी त्यांनी संतत प्रतिचित्रणाची कोटी (डिग्री ऑफ कंटिन्युअस मॅपिंग) ही संकल्पना वापरली. पुढे त्याच्या सिद्धता अनेक प्रकारे दिल्या गेल्या आहेत, दिल्या जात आहेत. उल्लेखनीय बाब म्हणजे हे प्रमेय त्रिमिती आणि त्याहून उच्च मितींमध्येही लागू पडते. त्रिमितीतले उदाहरण म्हणजे एखाद्या कपामध्ये ठेवलेली कॉफी किंवा गोल भांडय़ात ठेवलेले सरबत न सांडता ढवळले, तर त्यातील कुठला तरी एक बिंदू ते पेय ढवळण्यापूर्वीच्या त्याच्या स्थानावरच असेल, अढळ असेल असे हे प्रमेय सांगते.

या प्रमेयाच्या सर्वसामान्य रूपाची सिद्धता फ्रेंच गणिती जे. हॅडमर्ड यांनी १९१० साली दिली. स्थिर बिंदू प्रमेय हे विकलन (डिफ्रन्शिअल) समीकरणांची आणि विकलन भूमितीमधील गहन प्रश्नांची उकल करण्यास साहाय्यक ठरले आहे. मूळच्या स्थिरबिंदू प्रमेयाचे मोठय़ा प्रमाणावर व्याप्तीकरण (जनरलायझेशन) झाले असून स्थिर बिंदू प्रमेयांचे कूळ (फॅमिली) निर्माण झाले आहे. महत्त्वपूर्ण बाब म्हणजे सदर स्थिरबिंदू प्रमेय अशा बिंदूचे अस्तित्व सांगते, पण तो बिंदू कुठे असेल याची माहिती देत नाही. तरी या संस्थितीमधील स्थिरबिंदू सिद्धांताला पूरक असा दूरीक (मेट्रिक) स्थिरबिंदू सिद्धान्त विकसित झाला आहे, जो स्थिर बिंदू शोधण्यास मदत करतो. त्यामुळे गणिताच्या विविध शाखांत त्यांचे उपयोजन विस्तृतपणे शक्य होत आहे.

द्यूत सिद्धांतात (गेम थिअरी) विजयी होण्यासाठी धोरण ठरवणे (नॅश संतुलन) आणि अर्थशास्त्रात सर्वसाधारण बाजार संतुलन साधला जाणे या कळीच्या निष्कर्षांची सिद्धता स्थिर बिंदू प्रमेय आणि त्याचे वर्धित स्वरूप यांचा उपयोग करून दिली जाते. इष्टतमीकरण (ऑप्टिमायझेशन) सिद्धांत व त्यासाठीच्या पद्धती विकसन, अभियांत्रिकी आणि इतर क्षेत्रांतही स्थिर बिंदू प्रमेयाचा वापर झाला आहे, जसे की चित्रांकन विश्लेषण, भौतिकशास्त्र, संगणकशास्त्र आणि दळणवळण. 

– डॉ. विवेक पाटकर

मराठी विज्ञान परिषद,

संकेतस्थळ : http://www.mavipa.org    

ईमेल : office@mavipamumbai.org