गणितज्ञ गणिताला विविध प्रकारे पुढे नेतात. सामान्यपणे निरीक्षण हा त्याचा पाया असतो. जसे की, दर्शनीय संख्यांमध्ये किंवा आकृतींमध्ये काही आकृतिबंध (पॅटर्न) किंवा विसंगती आहे का, अशा बाबींना तार्किकदृष्ट्या तपासून निष्कर्ष काढले जातात. एक उदाहरण घेऊ. काही नैसर्गिक संख्यांचे वर्ग पुढील गुणधर्म दाखवतात : (३२+४२) = ५२ = २५; म्हणजे येथे ३ व ४ या दोन लागोपाठच्या संख्यांच्या वर्गाची बेरीज ही त्यांच्या पुढील संख्येच्या वर्गाइतकी आहे. याप्रमाणे (१०२+११२+१२२) = (१३२+१४२) = ३६५ म्हणजे येथे तीन लागोपाठच्या संख्यांच्या वर्गांची बेरीज ही त्यांच्या पुढील दोन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी आहे. याप्रमाणे चार लागोपाठच्या संख्यांच्या वर्गांची बेरीज ही त्यांच्यापुढील तीन संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असली पाहिजे, असा अंदाज केला जाऊ शकतो. अन् खरोखरच तसे आढळते! कारण (२१२+२२२+२३२+२४२) = (२५२+२६२+ २७२) = २०३०. असे का घडते? असेच घडत राहील का? अशा प्रश्नांची उत्तरे शोधत राहिल्याने गणिताचा विकास होत जातो. लागोपाठच्या नैसर्गिक संख्या क्ष, क्ष+१, क्ष+२,. अशा मांडता येतील. तर. वरील पहिल्या उदाहरणाप्रमाणे, क्ष२+(क्ष+१)२ = (क्ष+२)२ म्हणजे क्ष२+(क्ष२+२क्ष +१) = क्ष२+४क्ष+४ म्हणजेच क्ष२-२क्ष-३ = ०. या समीकरणाचे उत्तर क्ष = ३ किंवा क्ष = -१ असे आहे. क्ष ही नैसर्गिक संख्या मानल्यामुळे क्ष = -१ हे बाद होते. आपले पहिले निरीक्षण बरोबर ठरते. दुसऱ्या निरीक्षणासाठीही अशीच क्रिया केल्यास क्ष२-८क्ष-२० = ० असे समीकरण मिळते, ज्याचे उत्तर क्ष = १० किंवा क्ष = -२ असे आहे, ज्यातील क्ष = -२ हे बाद होते. म्हणजे दुसरे निरीक्षणही बरोबर ठरते. पुढेही तपासा. त्यावरून लागोपाठच्या न नैसर्गिक संख्यांच्या वर्गांची बेरीज ही त्यांच्यापुढील (न-१) संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते, असा व्यापक निष्कर्ष काढता येईल का? क्ष ही पूर्णांक, वास्तव किंवा संमिश्र संख्या मानली तरी हा निष्कर्ष बरोबर असेल का, याचा विचार करा. तसेच लेखासह दिलेल्या तक्त्यातील आकृतिबंध अभ्यासा आणि गणितात भर घालण्यास सुरुवात करा! - डॉ. विवेक पाटकर मराठी विज्ञान परिषद, संकेतस्थळ : www.mavipa.org ईमेल : ffice@mavipamumbai.org
